Номер 42.3, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.3. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y(x)$, проходящей через точку A:

1) $y = 2x^2 - x - 5$, $A(-1; -2);$

2) $y = 0,2x^2 + 2x - 4$, $A(2; 0,8);$

3) $y = -3x^2 - x + 5$, $A(-2; -5);$

4) $y = x^2 - \frac{1}{x} - 5$, $A(3; 3\frac{2}{3}).$

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке $x_0$ (также известный как угловой коэффициент касательной) равен значению производной функции в этой точке: $k = \tan \alpha = y'(x_0)$. Поскольку в условии сказано, что касательная проходит через точку A, сначала нужно проверить, лежит ли эта точка на графике функции. Если да, то A является точкой касания, и ее абсциссу $x_0$ можно использовать для нахождения производной.

1) Дана функция $y = 2x^2 - x - 5$ и точка A(-1; -2).

Сначала проверим, принадлежит ли точка A графику функции, подставив ее координаты в уравнение: $y(-1) = 2(-1)^2 - (-1) - 5 = 2 \cdot 1 + 1 - 5 = 3 - 5 = -2$. Полученное значение совпадает с ординатой точки A, следовательно, точка A является точкой касания, и $x_0 = -1$.

Теперь найдем производную функции: $y'(x) = (2x^2 - x - 5)' = 2 \cdot 2x - 1 - 0 = 4x - 1$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$: $\tan \alpha = y'(-1) = 4(-1) - 1 = -4 - 1 = -5$.

Ответ: -5.

2) Дана функция $y = 0,2x^2 + 2x - 4$ и точка A(2; 0,8).

Проверим, принадлежит ли точка A графику функции: $y(2) = 0,2(2)^2 + 2(2) - 4 = 0,2 \cdot 4 + 4 - 4 = 0,8 + 0 = 0,8$. Значение совпадает, значит, A — точка касания, и $x_0 = 2$.

Найдем производную функции: $y'(x) = (0,2x^2 + 2x - 4)' = 0,2 \cdot 2x + 2 - 0 = 0,4x + 2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $\tan \alpha = y'(2) = 0,4(2) + 2 = 0,8 + 2 = 2,8$.

Ответ: 2,8.

3) Дана функция $y = -3x^2 - x + 5$ и точка A(-2; -5).

Проверим, принадлежит ли точка A графику функции: $y(-2) = -3(-2)^2 - (-2) + 5 = -3 \cdot 4 + 2 + 5 = -12 + 7 = -5$. Значение совпадает, значит, A — точка касания, и $x_0 = -2$.

Найдем производную функции: $y'(x) = (-3x^2 - x + 5)' = -3 \cdot 2x - 1 + 0 = -6x - 1$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$: $\tan \alpha = y'(-2) = -6(-2) - 1 = 12 - 1 = 11$.

Ответ: 11.

4) Дана функция $y = x^2 - \frac{1}{x} - 5$ и точка A($3; 3\frac{2}{3}$).

Проверим, принадлежит ли точка A графику функции. Ордината точки A: $y_A = 3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$. Подставим абсциссу точки A в уравнение функции: $y(3) = 3^2 - \frac{1}{3} - 5 = 9 - \frac{1}{3} - 5 = 4 - \frac{1}{3} = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$. Значение совпадает, значит, A — точка касания, и $x_0 = 3$.

Найдем производную функции. Удобнее представить функцию в виде $y = x^2 - x^{-1} - 5$: $y'(x) = (x^2 - x^{-1} - 5)' = 2x - (-1)x^{-2} - 0 = 2x + x^{-2} = 2x + \frac{1}{x^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$: $\tan \alpha = y'(3) = 2(3) + \frac{1}{3^2} = 6 + \frac{1}{9} = \frac{54}{9} + \frac{1}{9} = \frac{55}{9}$.

Ответ: $\frac{55}{9}$.