Номер 42.6, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.6. Используя формулу $\sqrt{1+\Delta x} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \Delta x$ для функции $f(x)=\sqrt{x}$,

вычислите приближенное значение выражения:

1) $\sqrt{0,98}$;

2) $\sqrt{0,996}$;

3) $\sqrt{4,06}$;

4) $\sqrt{122}$;

5) $\sqrt{224}$.

Для решения задачи используется формула приближенного вычисления $\sqrt{1+\Delta x} \approx 1+\frac{1}{2} \cdot \Delta x$. Эта формула является частным случаем линейного приближения функции $f(x) = \sqrt{x}$ в точке $x_0=1$ и эффективна, когда $\Delta x$ мало.

Для вычисления корня из числа $N$, которое не близко к 1, мы представляем $N$ в виде $N = a^2 + \Delta N$, где $a^2$ - ближайший к $N$ точный квадрат. Тогда выражение под корнем можно преобразовать:

$\sqrt{N} = \sqrt{a^2 + \Delta N} = \sqrt{a^2 \left(1 + \frac{\Delta N}{a^2}\right)} = a \sqrt{1 + \frac{\Delta N}{a^2}}$

Теперь можно применить исходную формулу, где в качестве $\Delta x$ выступает $\frac{\Delta N}{a^2}$:

$\sqrt{N} \approx a \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\Delta N}{a^2}\right) = a + \frac{\Delta N}{2a}$.

Этот подход будет использован для решения всех пунктов.

1) Вычислим $\sqrt{0,98}$.

Представим подкоренное выражение в виде $1+\Delta x$: $0,98 = 1 - 0,02 = 1 + (-0,02)$.

В данном случае $\Delta x = -0,02$.

Применяем формулу: $\sqrt{0,98} = \sqrt{1+(-0,02)} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot (-0,02) = 1 - 0,01 = 0,99$.

Ответ: $0,99$.

2) Вычислим $\sqrt{0,996}$.

Представим подкоренное выражение в виде $1+\Delta x$: $0,996 = 1 - 0,004 = 1 + (-0,004)$.

Здесь $\Delta x = -0,004$.

Применяем формулу: $\sqrt{0,996} = \sqrt{1+(-0,004)} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot (-0,004) = 1 - 0,002 = 0,998$.

Ответ: $0,998$.

3) Вычислим $\sqrt{4,06}$.

Ближайший к $4,06$ точный квадрат - это $4=2^2$. Представим $4,06$ как $4 + 0,06$.

$\sqrt{4,06} = \sqrt{4 + 0,06} = \sqrt{4\left(1 + \frac{0,06}{4}\right)} = 2\sqrt{1 + 0,015}$.

Применяем формулу для $\sqrt{1 + 0,015}$, где $\Delta x = 0,015$.

$\sqrt{4,06} \approx 2 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot 0,015\right) = 2 \cdot (1 + 0,0075) = 2 \cdot 1,0075 = 2,015$.

Ответ: $2,015$.

4) Вычислим $\sqrt{122}$.

Ближайший к $122$ точный квадрат - это $121=11^2$. Представим $122$ как $121 + 1$.

$\sqrt{122} = \sqrt{121 + 1} = \sqrt{121\left(1 + \frac{1}{121}\right)} = 11\sqrt{1 + \frac{1}{121}}$.

Применяем формулу, где $\Delta x = \frac{1}{121}$.

$\sqrt{122} \approx 11 \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{121}\right) = 11 \left(1 + \frac{1}{242}\right) = 11 + \frac{11}{242} = 11 + \frac{1}{22}$.

Переведем дробь в десятичную форму: $\frac{1}{22} \approx 0,045$. Тогда $\sqrt{122} \approx 11 + 0,045 = 11,045$.

Ответ: $\approx 11,045$.

5) Вычислим $\sqrt{224}$.

Ближайший к $224$ точный квадрат - это $225=15^2$. Представим $224$ как $225 - 1$.

$\sqrt{224} = \sqrt{225 - 1} = \sqrt{225\left(1 - \frac{1}{225}\right)} = 15\sqrt{1 - \frac{1}{225}}$.

Применяем формулу, где $\Delta x = -\frac{1}{225}$.

$\sqrt{224} \approx 15 \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{225}\right)\right) = 15 \left(1 - \frac{1}{450}\right) = 15 - \frac{15}{450} = 15 - \frac{1}{30}$.

Переведем дробь в десятичную форму: $\frac{1}{30} \approx 0,033$. Тогда $\sqrt{224} \approx 15 - 0,033 = 14,967$.

Ответ: $\approx 14,967$.