Номер 42.5, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.5. Используя формулу $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$, вычислите приближенные значения функции $f(x)$ при значениях аргумента $x_1$ и $x_2$:

1) $f(x) = x^3 - 4x^2 - 2$ при $x_1 = 1,03$, $x_2 = 4,98;$

2) $f(x) = x^3 - x^2 + 3$ при $x_1 = 2,02$, $x_2 = 5,995$.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 4x^2 - 2$. Формула для приближенного вычисления: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$, где $\Delta x = x - x_0$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 4x^2 - 2)' = 3x^2 - 8x$.

Вычислим приближенное значение для $x_1 = 1.03$.

В качестве $x_0$ выберем ближайшее целое число, $x_0 = 1$. Тогда приращение $\Delta x = x_1 - x_0 = 1.03 - 1 = 0.03$.

Найдем значения функции и ее производной в точке $x_0=1$:

$f(x_0) = f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 2 = 1 - 4 - 2 = -5$.

$f'(x_0) = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 = 3 - 8 = -5$.

Подставим найденные значения в формулу:

$f(1.03) \approx f(1) + f'(1) \cdot 0.03 = -5 + (-5) \cdot 0.03 = -5 - 0.15 = -5.15$.

Теперь вычислим приближенное значение для $x_2 = 4.98$.

В качестве $x_0$ выберем $x_0 = 5$. Тогда приращение $\Delta x = x_2 - x_0 = 4.98 - 5 = -0.02$.

Найдем значения функции и ее производной в точке $x_0=5$:

$f(x_0) = f(5) = 5^3 - 4 \cdot 5^2 - 2 = 125 - 4 \cdot 25 - 2 = 125 - 100 - 2 = 23$.

$f'(x_0) = f'(5) = 3 \cdot 5^2 - 8 \cdot 5 = 3 \cdot 25 - 40 = 75 - 40 = 35$.

Подставим найденные значения в формулу:

$f(4.98) \approx f(5) + f'(5) \cdot (-0.02) = 23 + 35 \cdot (-0.02) = 23 - 0.7 = 22.3$.

Ответ: $f(1.03) \approx -5.15$; $f(4.98) \approx 22.3$.

2) Дана функция $f(x) = x^3 - x^2 + 3$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (x^3 - x^2 + 3)' = 3x^2 - 2x$.

Вычислим приближенное значение для $x_1 = 2.02$.

В качестве $x_0$ выберем $x_0 = 2$. Тогда приращение $\Delta x = x_1 - x_0 = 2.02 - 2 = 0.02$.

Найдем значения функции и ее производной в точке $x_0=2$:

$f(x_0) = f(2) = 2^3 - 2^2 + 3 = 8 - 4 + 3 = 7$.

$f'(x_0) = f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 = 3 \cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8$.

Подставим найденные значения в формулу:

$f(2.02) \approx f(2) + f'(2) \cdot 0.02 = 7 + 8 \cdot 0.02 = 7 + 0.16 = 7.16$.

Теперь вычислим приближенное значение для $x_2 = 5.995$.

В качестве $x_0$ выберем $x_0 = 6$. Тогда приращение $\Delta x = x_2 - x_0 = 5.995 - 6 = -0.005$.

Найдем значения функции и ее производной в точке $x_0=6$:

$f(x_0) = f(6) = 6^3 - 6^2 + 3 = 216 - 36 + 3 = 183$.

$f'(x_0) = f'(6) = 3 \cdot 6^2 - 2 \cdot 6 = 3 \cdot 36 - 12 = 108 - 12 = 96$.

Подставим найденные значения в формулу:

$f(5.995) \approx f(6) + f'(6) \cdot (-0.005) = 183 + 96 \cdot (-0.005) = 183 - 0.48 = 182.52$.

Ответ: $f(2.02) \approx 7.16$; $f(5.995) \approx 182.52$.