Вопросы, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Где применяют производную?

2. Каков физический и геометрический смысл производной?

3. Как находится мгновенная скорость?

4. Как найти среднюю скорость движения в указанный промежуток времени?

5. Как связаны дифференциал функции с ее производной?

6. При каком условии формула для вычислений приближенных значений функций дает более точный результат?

1. Где применяют производную?

Производная — одно из фундаментальных понятий математического анализа, которое находит широкое применение в различных областях науки и техники для изучения скорости изменения величин. Вот некоторые ключевые сферы ее использования:

• Физика: для нахождения мгновенной скорости и ускорения тела (производная от координаты по времени — скорость, производная от скорости — ускорение), для расчета плотности неоднородного стержня, силы тока (производная от заряда по времени), мощности (производная от работы по времени), а также в термодинамике, оптике и электромагнетизме.

• Геометрия: для нахождения угла наклона касательной к графику функции, для исследования функций на монотонность (возрастание и убывание) и для нахождения точек экстремума (максимумов и минимумов).

• Экономика: в так называемом маржинальном анализе для нахождения предельных (маржинальных) величин, таких как предельные издержки, предельный доход и предельная прибыль. Это помогает компаниям принимать решения по оптимизации производства и ценообразования.

• Техника и инженерия: при решении задач на оптимизацию, например, для нахождения наилучших конструктивных параметров, обеспечивающих максимальную прочность при минимальном весе, или для проектирования траекторий движения.

• Информатика и машинное обучение: производные являются основой методов оптимизации, таких как градиентный спуск, который используется для обучения нейронных сетей путем минимизации функции потерь.

• Биология и химия: для моделирования скорости роста популяций, скорости химических реакций и процессов распада веществ.

Ответ: Производную применяют для исследования скорости протекания различных процессов в физике, экономике, технике и других науках, а также для нахождения оптимальных решений и анализа поведения функций.

2. Каков физический и геометрический смысл производной?

Производная имеет два основных толкования: физическое (или механическое) и геометрическое.

Физический смысл производной заключается в том, что она описывает мгновенную скорость изменения некоторого процесса. Если функция $s(t)$ описывает зависимость пути $s$, пройденного материальной точкой, от времени $t$, то ее производная по времени $s'(t)$ равна мгновенной скорости $v(t)$ этой точки в момент времени $t$. То есть, $v(t) = s'(t)$. В общем случае, если функция $y = f(x)$ описывает некоторый физический процесс, то ее производная $f'(x)$ — это скорость протекания этого процесса.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Если $\alpha$ — это угол между касательной и положительным направлением оси Ox, то угловой коэффициент $k$ этой касательной равен $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$. Это позволяет находить уравнение касательной и анализировать "крутизну" графика функции в любой его точке.

Ответ: Физический смысл производной — это мгновенная скорость изменения функции. Геометрический смысл производной — это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке.

3. Как находится мгновенная скорость?

Мгновенная скорость — это скорость тела в данный конкретный момент времени или в данной точке траектории. Для ее нахождения необходимо знать закон движения тела, то есть функцию зависимости его координаты (или пройденного пути) от времени $s(t)$.

Мгновенная скорость $v(t)$ в любой момент времени $t$ находится как первая производная от функции пути $s(t)$ по времени $t$. Математически это записывается так:

$v(t) = s'(t)$

С точки зрения определения, мгновенная скорость является пределом, к которому стремится средняя скорость на бесконечно малом промежутке времени $\Delta t$:

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Таким образом, чтобы найти мгновенную скорость, нужно:

1. Иметь уравнение движения $s(t)$.

2. Найти производную этой функции по переменной $t$.

3. Если требуется найти скорость в конкретный момент времени $t_0$, нужно подставить это значение в полученное выражение для производной.

Ответ: Мгновенная скорость находится как первая производная от функции, описывающей зависимость пути от времени, $v(t) = s'(t)$.

4. Как найти среднюю скорость движения в указанный промежуток времени?

Средняя скорость движения на некотором участке пути (или за некоторый промежуток времени) — это скалярная физическая величина, равная отношению всего пройденного пути ко всему времени движения. Если речь идет о средней векторной скорости (скорости перемещения), то это отношение вектора перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло.

Пусть движение тела описывается функцией $s(t)$, где $s$ — координата, а $t$ — время. Чтобы найти среднюю скорость $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо:

1. Найти перемещение тела $\Delta s$ за этот промежуток. Оно равно разности координат в конечный и начальный моменты времени: $\Delta s = s(t_2) - s(t_1)$.

2. Найти длительность промежутка времени $\Delta t$: $\Delta t = t_2 - t_1$.

3. Разделить перемещение на промежуток времени. Формула для вычисления средней скорости выглядит так:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

Важно не путать среднюю скорость со средним арифметическим скоростей, это разные понятия.

Ответ: Средняя скорость движения в промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ находится по формуле $v_{ср} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$, где $s(t)$ — закон движения.

5. Как связаны дифференциал функции с ее производной?

Дифференциал функции и ее производная — тесно связанные понятия. Дифференциал функции $y = f(x)$ в точке $x$ представляет собой главную линейную часть приращения функции.

Приращение функции $\Delta y$ при изменении аргумента на $\Delta x$ равно: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$.

Дифференциал функции $dy$ (или $df(x)$) по определению равен произведению ее производной $f'(x)$ на дифференциал независимой переменной $dx$. Дифференциал независимой переменной $dx$ по определению равен ее приращению $\Delta x$, то есть $dx = \Delta x$.

Таким образом, связь между дифференциалом функции и ее производной выражается формулой:

$dy = f'(x) \cdot dx$

Эта формула показывает, что дифференциал функции прямо пропорционален ее производной. Геометрически дифференциал $dy$ — это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке $(x, f(x))$, когда абсцисса изменяется на $\Delta x$. При малых $\Delta x$ дифференциал $dy$ является хорошим приближением для реального приращения функции $\Delta y$, то есть $\Delta y \approx dy$.

Ответ: Дифференциал функции $dy$ равен произведению ее производной $f'(x)$ на дифференциал независимой переменной $dx$: $dy = f'(x) \cdot dx$.

6. При каком условии формула для вычислений приближенных значений функций дает более точный результат?

Формула для приближенных вычислений значений функции основана на замене приращения функции ее дифференциалом. Она имеет вид:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$

Здесь $f(x_0)$ — известное значение функции в "удобной" точке $x_0$, близкой к той, в которой мы хотим найти значение. Величина $\Delta x$ — это малое приращение аргумента, такое что $x = x_0 + \Delta x$.

Точность этой формулы зависит от того, насколько хорошо касательная к графику функции в точке $x_0$ аппроксимирует саму функцию в окрестности этой точки. Погрешность приближения равна разности между истинным приращением функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ и ее дифференциалом $dy = f'(x_0) \cdot \Delta x$.

Основное условие, при котором формула дает более точный результат, — это малость приращения аргумента $\Delta x$. Чем меньше абсолютное значение $|\Delta x|$, тем меньше погрешность и тем точнее результат приближения. Математически, погрешность $\Delta y - dy$ является величиной более высокого порядка малости по сравнению с $\Delta x$, то есть она стремится к нулю быстрее, чем $\Delta x$.

Ответ: Формула для приближенных вычислений значений функций дает более точный результат при условии, что приращение аргумента $\Delta x$ является бесконечно малой величиной (то есть чем ближе $\Delta x$ к нулю, тем точнее приближение).