Номер 41.15, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.15. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$;

2) $f(x) = \frac{2x-3}{x+1}$;

3) $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$;

4) $f(x) = \frac{3x^2-12}{x+2}$.

1) $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$

Данная функция является дробно-рациональной. Для построения графика преобразуем ее, выделив целую часть:

$f(x) = \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x-1)+3}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{3}{x-1} = 1 + \frac{3}{x-1}$

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{3}{x}$ с помощью сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

Вертикальная асимптота: $x = 1$ (так как знаменатель обращается в ноль при $x=1$).

Горизонтальная асимптота: $y = 1$ (значение, к которому стремится функция при $x \to \pm\infty$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = \frac{0+2}{0-1} = -2$. Точка $(0, -2)$.

С осью Ox (при $y=0$): $\frac{x+2}{x-1} = 0 \implies x+2=0 \implies x=-2$. Точка $(-2, 0)$.

Для точности построения найдем еще несколько точек:

При $x=2, f(2) = 1 + \frac{3}{2-1} = 4$. Точка $(2, 4)$.

При $x=4, f(4) = 1 + \frac{3}{4-1} = 2$. Точка $(4, 2)$.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. Ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных квадрантах относительно асимптот. График проходит через точки $(-2, 0)$, $(0, -2)$ и $(2, 4)$.

2) $f(x) = \frac{2x-3}{x+1}$

Преобразуем функцию, выделив целую часть:

$f(x) = \frac{2x-3}{x+1} = \frac{2(x+1)-2-3}{x+1} = \frac{2(x+1)-5}{x+1} = 2 - \frac{5}{x+1} = \frac{-5}{x+1} + 2$

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{-5}{x}$ с помощью сдвига на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

Вертикальная асимптота: $x = -1$.

Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = \frac{2(0)-3}{0+1} = -3$. Точка $(0, -3)$.

С осью Ox (при $y=0$): $\frac{2x-3}{x+1} = 0 \implies 2x-3=0 \implies x=1.5$. Точка $(1.5, 0)$.

Для точности построения найдем еще несколько точек:

При $x=-2, f(-2) = 2 - \frac{5}{-2+1} = 2 - (-5) = 7$. Точка $(-2, 7)$.

При $x=1, f(1) = 2 - \frac{5}{1+1} = 2 - 2.5 = -0.5$. Точка $(1, -0.5)$.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-1$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. Ветви гиперболы расположены во втором и четвертом координатных квадрантах относительно асимптот. График проходит через точки $(1.5, 0)$, $(0, -3)$ и $(-2, 7)$.

3) $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Упростим выражение для функции, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь:

$f(x) = x+2$

Таким образом, график функции $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ представляет собой прямую $y = x+2$ с "выколотой" точкой, так как функция не определена при $x=2$.

Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса $x=2$. Ординату найдем, подставив это значение в упрощенную функцию: $y = 2+2=4$.

Следовательно, точка разрыва имеет координаты $(2, 4)$.

Для построения прямой $y=x+2$ найдем две любые точки, например, точки пересечения с осями:

При $x=0, y=2$. Точка $(0,2)$.

При $y=0, x=-2$. Точка $(-2,0)$.

Ответ: График функции — прямая $y=x+2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

4) $f(x) = \frac{3x^2-12}{x+2}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Упростим выражение для функции. Сначала вынесем общий множитель в числителе, а затем применим формулу разности квадратов:

$f(x) = \frac{3(x^2-4)}{x+2} = \frac{3(x-2)(x+2)}{x+2}$

При $x \neq -2$ мы можем сократить дробь:

$f(x) = 3(x-2) = 3x-6$

График исходной функции совпадает с графиком прямой $y = 3x-6$ за исключением точки, где $x=-2$.

Найдем координаты "выколотой" точки. Абсцисса $x=-2$. Ординату найдем, подставив это значение в упрощенную функцию: $y = 3(-2)-6 = -6-6 = -12$.

Следовательно, точка разрыва имеет координаты $(-2, -12)$.

Для построения прямой $y=3x-6$ найдем две точки:

При $x=0, y = 3(0)-6 = -6$. Точка $(0, -6)$.

При $x=2, y = 3(2)-6 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Ответ: График функции — прямая $y=3x-6$ с выколотой точкой $(-2, -12)$.