Номер 41.13, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.13. Найдите производную функции $f(x) = |2x|$ при:

1) $x > 0$;

2) $x < 0$;

3) $x = 0$.

Для нахождения производной функции $f(x) = |2x|$ необходимо сначала раскрыть модуль. Функция $f(x)$ является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) x > 0;

На интервале $x > 0$ функция имеет вид $f(x) = 2x$. Это линейная функция. Ее производная находится по правилу дифференцирования: $f'(x) = (2x)' = 2$.

Ответ: $2$.

2) x < 0;

На интервале $x < 0$ функция имеет вид $f(x) = -2x$, так как модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с противоположным знаком. Находим производную этой функции: $f'(x) = (-2x)' = -2$.

Ответ: $-2$.

3) x = 0.

Производная в точке определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Чтобы найти производную в точке $x_0 = 0$, необходимо вычислить предел по определению: $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}$. Поскольку $f(h) = |2h|$ и $f(0) = |2 \cdot 0| = 0$, предел принимает вид: $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|2h|}{h}$. Для существования этого предела необходимо, чтобы односторонние пределы (справа и слева) существовали и были равны.

Вычислим правосторонний предел (когда $h$ стремится к нулю справа, $h \to 0^+$): В этом случае $h > 0$, поэтому $|2h| = 2h$. $\lim_{h \to 0^+} \frac{|2h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 2 = 2$.

Вычислим левосторонний предел (когда $h$ стремится к нулю слева, $h \to 0^-$): В этом случае $h < 0$, поэтому $|2h| = -2h$. $\lim_{h \to 0^-} \frac{|2h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-2h}{h} = \lim_{h \to 0^-} -2 = -2$.

Правосторонний предел ($2$) не равен левостороннему пределу ($-2$). Следовательно, общий предел не существует. Это означает, что функция $f(x) = |2x|$ не является дифференцируемой в точке $x = 0$.

Ответ: производная в точке $x=0$ не существует.