Номер 41.7, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.7. Напишите формулу какой-либо функции $f(x)$, производная которой равна:

1) $4x^3 + 6x^2 - 2\sqrt{3}$;

2) $\frac{1}{2}x^3 - 3x^2 - \sqrt{3}x$;

3) $5x^3 - 0.6x^2 + \sqrt{7}x - 4$;

4) $-\frac{5}{x^3} + x^4 - 7$;

5) $-\frac{5}{x^4} + 3x^4 - 7x + 1$;

6) $\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{5}{x^3} - x^6 - 7x$.

1) Чтобы найти функцию $f(x)$, производная которой равна $f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2\sqrt{3}$, необходимо найти ее первообразную (неопределенный интеграл). Операция нахождения первообразной обратна дифференцированию. Используем основное правило интегрирования степенной функции $\int kx^n dx = k \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$f(x) = \int (4x^3 + 6x^2 - 2\sqrt{3}) dx = \int 4x^3 dx + \int 6x^2 dx - \int 2\sqrt{3} dx$

$f(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2\sqrt{3} \cdot x + C = 4 \frac{x^4}{4} + 6 \frac{x^3}{3} - 2\sqrt{3}x + C = x^4 + 2x^3 - 2\sqrt{3}x + C$.

По условию задачи требуется найти любую такую функцию, поэтому мы можем выбрать любое значение для константы $C$. Пусть $C=0$.

Ответ: $f(x) = x^4 + 2x^3 - 2\sqrt{3}x$.

2) Дана производная $f'(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 - \sqrt{3}x$. Находим первообразную, интегрируя каждый член выражения по отдельности.

$f(x) = \int (\frac{1}{2}x^3 - 3x^2 - \sqrt{3}x) dx = \int \frac{1}{2}x^3 dx - \int 3x^2 dx - \int \sqrt{3}x dx$

$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - \sqrt{3} \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{1}{2} \frac{x^4}{4} - 3 \frac{x^3}{3} - \sqrt{3} \frac{x^2}{2} + C = \frac{1}{8}x^4 - x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + C$.

Полагая константу интегрирования $C=0$, получаем одну из возможных функций.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2$.

3) Дана производная $f'(x) = 5x^3 - 0,6x^2 + \sqrt{7}x - 4$. Находим первообразную.

$f(x) = \int (5x^3 - 0,6x^2 + \sqrt{7}x - 4) dx = 5\frac{x^4}{4} - 0,6\frac{x^3}{3} + \sqrt{7}\frac{x^2}{2} - 4x + C = \frac{5}{4}x^4 - 0,2x^3 + \frac{\sqrt{7}}{2}x^2 - 4x + C$.

Выберем $C=0$.

Ответ: $f(x) = \frac{5}{4}x^4 - 0,2x^3 + \frac{\sqrt{7}}{2}x^2 - 4x$.

4) Дана производная $f'(x) = -\frac{5}{x^3} + x^4 - 7$. Для интегрирования представим первый член в виде степени: $-\frac{5}{x^3} = -5x^{-3}$.

$f(x) = \int (-5x^{-3} + x^4 - 7) dx = -5 \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + \frac{x^{4+1}}{4+1} - 7x + C = -5 \frac{x^{-2}}{-2} + \frac{x^5}{5} - 7x + C = \frac{5}{2}x^{-2} + \frac{x^5}{5} - 7x + C = \frac{5}{2x^2} + \frac{1}{5}x^5 - 7x + C$.

Выберем $C=0$.

Ответ: $f(x) = \frac{5}{2x^2} + \frac{1}{5}x^5 - 7x$.

5) Дана производная $f'(x) = -\frac{5}{x^4} + 3x^4 - 7x + 1$. Перепишем первый член как $-5x^{-4}$ и найдем первообразную.

$f(x) = \int (-5x^{-4} + 3x^4 - 7x + 1) dx = -5 \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + 3\frac{x^{4+1}}{4+1} - 7\frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C = -5 \frac{x^{-3}}{-3} + 3\frac{x^5}{5} - 7\frac{x^2}{2} + x + C = \frac{5}{3}x^{-3} + \frac{3}{5}x^5 - \frac{7}{2}x^2 + x + C = \frac{5}{3x^3} + \frac{3}{5}x^5 - \frac{7}{2}x^2 + x + C$.

Выберем $C=0$.

Ответ: $f(x) = \frac{5}{3x^3} + \frac{3}{5}x^5 - \frac{7}{2}x^2 + x$.

6) Дана производная $f'(x) = \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{5}{x^3} - x^6 - 7x$. Представим член $\frac{5}{x^3}$ как $5x^{-3}$ и проинтегрируем выражение.

$f(x) = \int (\frac{\sqrt{5}}{3} + 5x^{-3} - x^6 - 7x) dx = \frac{\sqrt{5}}{3}x + 5 \frac{x^{-3+1}}{-3+1} - \frac{x^{6+1}}{6+1} - 7\frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{\sqrt{5}}{3}x + 5 \frac{x^{-2}}{-2} - \frac{x^7}{7} - 7\frac{x^2}{2} + C = \frac{\sqrt{5}}{3}x - \frac{5}{2x^2} - \frac{1}{7}x^7 - \frac{7}{2}x^2 + C$.

Выберем $C=0$.

Ответ: $f(x) = \frac{\sqrt{5}}{3}x - \frac{5}{2x^2} - \frac{1}{7}x^7 - \frac{7}{2}x^2$.