Номер 41.3, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.3. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x \cdot (x - 3)$, $x_0 = 4$;

2) $f(x) = (x^2 - 5) \cdot (x - 3)$, $x_0 = 1.1$;

3) $f(x) = 4 \cdot (x^2 + 3x) \cdot (x - 1)$, $x_0 = -0.4$;

4) $f(x) = (2x - 1)(x + 3) - x$, $x_0 = 1\frac{1}{3}$.

1) Чтобы найти значение производной функции $f(x) = x \cdot (x - 3)$ в точке $x_0 = 4$, сначала упростим функцию, раскрыв скобки.

$f(x) = x^2 - 3x$

Теперь найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = (x^2 - 3x)' = (x^2)' - (3x)' = 2x - 3$

Подставим значение $x_0 = 4$ в полученное выражение для производной:

$f'(4) = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$

Ответ: 5

2) Дана функция $f(x) = (x^2 - 5) \cdot (x - 3)$ и точка $x_0 = 1,1$.

Для нахождения производной этой функции удобнее всего использовать правило производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 - 5$ и $v(x) = x - 3$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2 - 5)' \cdot (x - 3) + (x^2 - 5) \cdot (x - 3)' = 2x(x - 3) + (x^2 - 5) \cdot 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = 2x^2 - 6x + x^2 - 5 = 3x^2 - 6x - 5$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1,1$:

$f'(1,1) = 3(1,1)^2 - 6(1,1) - 5 = 3(1,21) - 6,6 - 5 = 3,63 - 11,6 = -7,97$

Ответ: -7,97

3) Дана функция $f(x) = 4 \cdot (x^2 + 3x) \cdot (x - 1)$ и точка $x_0 = -0,4$.

Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки:

$f(x) = 4 \cdot (x^3 - x^2 + 3x^2 - 3x) = 4 \cdot (x^3 + 2x^2 - 3x)$

$f(x) = 4x^3 + 8x^2 - 12x$

Найдем производную полученной функции:

$f'(x) = (4x^3 + 8x^2 - 12x)' = 4 \cdot 3x^2 + 8 \cdot 2x - 12 = 12x^2 + 16x - 12$

Теперь подставим значение $x_0 = -0,4$ в выражение для производной:

$f'(-0,4) = 12(-0,4)^2 + 16(-0,4) - 12 = 12(0,16) - 6,4 - 12$

$f'(-0,4) = 1,92 - 18,4 = -16,48$

Ответ: -16,48

4) Дана функция $f(x) = (2x - 1)(x + 3) - x$ и точка $x_0 = 1\frac{1}{3}$.

Упростим функцию, раскрыв скобки в произведении:

$f(x) = (2x^2 + 6x - x - 3) - x = 2x^2 + 5x - 3 - x$

$f(x) = 2x^2 + 4x - 3$

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^2 + 4x - 3)' = 2 \cdot 2x + 4 = 4x + 4$

Переведем значение $x_0 = 1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь для удобства вычислений: $x_0 = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Подставим это значение в производную:

$f'(\frac{4}{3}) = 4 \cdot \frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3} + \frac{12}{3} = \frac{28}{3}$

Преобразуем результат в смешанную дробь: $\frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$.

Ответ: $9\frac{1}{3}$