Номер 41.4, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.4. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0 = 2$:

1) $f(x) = \frac{3}{x - 1};$

2) $f(x) = \frac{5x}{x - 3};$

3) $f(x) = \frac{\sqrt{5x} + 7x^3}{x + 2};$

4) $f(x) = \frac{5(x - 5)(x + 1)}{x + 3} - 4x.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{3}{x-1}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u(x) = 3$ и $v(x) = x-1$.

Производные этих функций: $u'(x) = 0$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{0 \cdot (x-1) - 3 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{-3}{(2-1)^2} = \frac{-3}{1^2} = -3$.

Ответ: -3

2) Дана функция $f(x) = \frac{5x}{x-3}$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 5x$ и $v(x) = x-3$.

Находим производные: $u'(x) = 5$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{5 \cdot (x-3) - 5x \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{5x - 15 - 5x}{(x-3)^2} = \frac{-15}{(x-3)^2}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{-15}{(2-3)^2} = \frac{-15}{(-1)^2} = \frac{-15}{1} = -15$.

Ответ: -15

3) Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{5x+7x^3}}{x+2}$.

Применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \sqrt{5x+7x^3}$ и $v(x) = x+2$.

Производная знаменателя: $v'(x) = 1$.

Для нахождения производной числителя $u'(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть $g(x) = 5x+7x^3$, тогда $u(x) = \sqrt{g(x)}$.

$g'(x) = 5 + 21x^2$.

$u'(x) = (\sqrt{g(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x) = \frac{5+21x^2}{2\sqrt{5x+7x^3}}$.

Теперь найдем значения функций и их производных в точке $x_0 = 2$:

$u(2) = \sqrt{5(2) + 7(2)^3} = \sqrt{10 + 7 \cdot 8} = \sqrt{10+56} = \sqrt{66}$.

$v(2) = 2+2 = 4$.

$u'(2) = \frac{5+21(2)^2}{2\sqrt{5(2)+7(2)^3}} = \frac{5+84}{2\sqrt{66}} = \frac{89}{2\sqrt{66}}$.

$v'(2) = 1$.

Подставляем найденные значения в формулу производной частного в точке $x_0=2$:

$f'(2) = \frac{u'(2)v(2) - u(2)v'(2)}{(v(2))^2} = \frac{\frac{89}{2\sqrt{66}} \cdot 4 - \sqrt{66} \cdot 1}{4^2} = \frac{\frac{178}{\sqrt{66}} - \sqrt{66}}{16}$.

Приведем числитель к общему знаменателю:

$\frac{\frac{178}{\sqrt{66}} - \frac{66}{\sqrt{66}}}{16} = \frac{\frac{178-66}{\sqrt{66}}}{16} = \frac{\frac{112}{\sqrt{66}}}{16} = \frac{112}{16\sqrt{66}} = \frac{7}{\sqrt{66}}$.

Можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{7\sqrt{66}}{66}$.

Ответ: $\frac{7}{\sqrt{66}}$

4) Дана функция $f(x) = \frac{5(x-5)(x+1)}{x+3} - 4x$.

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки в числителе дроби:

$(x-5)(x+1) = x^2 + x - 5x - 5 = x^2 - 4x - 5$.

$f(x) = \frac{5(x^2-4x-5)}{x+3} - 4x = \frac{5x^2 - 20x - 25}{x+3} - 4x$.

Производная разности равна разности производных:

$f'(x) = \left(\frac{5x^2 - 20x - 25}{x+3}\right)' - (4x)'$.

Производная второго слагаемого: $(4x)' = 4$.

Для нахождения производной первого слагаемого используем правило дифференцирования частного, где $u(x) = 5x^2 - 20x - 25$ и $v(x) = x+3$.

$u'(x) = 10x - 20$ и $v'(x) = 1$.

Найдем значения этих выражений в точке $x_0 = 2$:

$u(2) = 5(2)^2 - 20(2) - 25 = 20 - 40 - 25 = -45$.

$v(2) = 2+3 = 5$.

$u'(2) = 10(2) - 20 = 20 - 20 = 0$.

$v'(2) = 1$.

Значение производной дроби в точке $x_0=2$:

$\left(\frac{u}{v}\right)'(2) = \frac{u'(2)v(2) - u(2)v'(2)}{(v(2))^2} = \frac{0 \cdot 5 - (-45) \cdot 1}{5^2} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}$.

Теперь находим значение производной исходной функции $f'(x)$ в точке $x_0=2$:

$f'(2) = \frac{9}{5} - 4 = \frac{9}{5} - \frac{20}{5} = -\frac{11}{5}$.

Ответ: $-\frac{11}{5}$