Номер 41.6, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.6. Решите неравенство $f'(x) \ge 0$:
1) $f(x) = x^2 + 1,2x - 2\sqrt{3}$;
2) $f(x) = x^3 + 6x^2 - \sqrt{3}$;
3) $f(x) = x^5 + 111x^3 - 21\sqrt{7}$;
4) $f(x) = x^3 + 3x^4 - 3x^2 + 1.

1) Дана функция $f(x) = x^2 + 1.2x - 2\sqrt{3}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 + 1.2x - 2\sqrt{3})' = 2x^{2-1} + 1.2x^{1-1} - 0 = 2x + 1.2$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \ge 0$:

$2x + 1.2 \ge 0$

$2x \ge -1.2$

$x \ge \frac{-1.2}{2}$

$x \ge -0.6$

Решение неравенства в виде промежутка: $x \in [-0.6, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-0.6, +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = x^3 + 6x^2 - \sqrt{3}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 + 6x^2 - \sqrt{3})' = 3x^2 + 6 \cdot 2x - 0 = 3x^2 + 12x$.

Решим неравенство $f'(x) \ge 0$:

$3x^2 + 12x \ge 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 4) \ge 0$

Найдем корни уравнения $3x(x + 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 12x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутках, где график находится выше или на оси абсцисс, то есть при $x \le -4$ и $x \ge 0$.

Решение неравенства в виде объединения промежутков: $x \in (-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$.

3) Дана функция $f(x) = x^5 + 111x^3 - 21\sqrt{7}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^5 + 111x^3 - 21\sqrt{7})' = 5x^4 + 111 \cdot 3x^2 - 0 = 5x^4 + 333x^2$.

Решим неравенство $f'(x) \ge 0$:

$5x^4 + 333x^2 \ge 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(5x^2 + 333) \ge 0$

Рассмотрим множители. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Выражение $5x^2 + 333$ всегда положительно, так как $5x^2 \ge 0$, и следовательно $5x^2 + 333 \ge 333 > 0$.

Произведение неотрицательного выражения ($x^2$) и строго положительного выражения ($5x^2 + 333$) всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) Дана функция $f(x) = x^5 + \frac{5}{2}x^4 - \frac{10}{3}x^3 + 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^5 + \frac{5}{2}x^4 - \frac{10}{3}x^3 + 1)' = 5x^4 + \frac{5}{2} \cdot 4x^3 - \frac{10}{3} \cdot 3x^2 + 0 = 5x^4 + 10x^3 - 10x^2$.

Решим неравенство $f'(x) \ge 0$:

$5x^4 + 10x^3 - 10x^2 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x^4 + 2x^3 - 2x^2 \ge 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + 2x - 2) \ge 0$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, неравенство будет выполняться в двух случаях:

1. Когда $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. При $x=0$ левая часть неравенства равна 0, что удовлетворяет условию $0 \ge 0$.

2. Когда $x^2 > 0$ (то есть $x \neq 0$), неравенство эквивалентно $x^2 + 2x - 2 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 2$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 2x - 2 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1-\sqrt{3}] \cup [-1+\sqrt{3}, +\infty)$.

Объединяя решение из пункта 1 ($x=0$) и пункта 2, получаем окончательное решение. Заметим, что точка $x=0$ не входит в промежутки из пункта 2, так как $-1-\sqrt{3} < 0 < -1+\sqrt{3}$, поэтому ее нужно включить в ответ отдельно.

Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -1-\sqrt{3}] \cup \{0\} \cup [-1+\sqrt{3}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1-\sqrt{3}] \cup \{0\} \cup [-1+\sqrt{3}, +\infty)$.