Номер 41.1, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Пользуясь правилами вычисления производных, найдите $f'(x)$

(41.1–41.2):

41.1. 1)

1) $f(x) = 3x - \sqrt{3}$;

2) $f(x) = x^3 - \sqrt{3x}$;

3) $f(x) = x^2 + 3x - \sqrt{2}$;

4) $f(x) = x^3 - \sqrt{7} x + \pi$;

5) $f(x) = 5x^{-1} + 2x - \sqrt{5}$;

6) $f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3x^2} - 7$.

1) Для нахождения производной функции $f(x) = 3x - \sqrt{3}$ воспользуемся правилами дифференцирования.

Производная разности функций равна разности их производных: $f'(x) = (3x - \sqrt{3})' = (3x)' - (\sqrt{3})'$.

Производная линейной функции $(kx)' = k$. В нашем случае $(3x)' = 3$.

Производная константы равна нулю. Так как $\sqrt{3}$ является константой, $(\sqrt{3})' = 0$.

Следовательно, $f'(x) = 3 - 0 = 3$.

Ответ: $f'(x) = 3$.

2) Дана функция $f(x) = x^3 - \sqrt{3x}$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования разности и степенной функции. Представим $\sqrt{3x}$ как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{3} \cdot x^{1/2}$.

$f'(x) = (x^3 - \sqrt{3}x^{1/2})' = (x^3)' - (\sqrt{3}x^{1/2})'$.

По формуле производной степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ находим:

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

$(\sqrt{3}x^{1/2})' = \sqrt{3} \cdot (x^{1/2})' = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{-1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, производная исходной функции равна $f'(x) = 3x^2 - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}$.

3) Для функции $f(x) = x^2 + 3x - \sqrt{2}$ применяем правило производной суммы и разности:

$f'(x) = (x^2 + 3x - \sqrt{2})' = (x^2)' + (3x)' - (\sqrt{2})'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$ (по формуле производной степенной функции).

$(3x)' = 3$ (производная линейной функции).

$(\sqrt{2})' = 0$ (производная константы).

Собирая все вместе, получаем: $f'(x) = 2x + 3 - 0 = 2x+3$.

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$.

4) Дана функция $f(x) = x^3 - \sqrt{7}x + \pi$.

Производная находится как производная алгебраической суммы:

$f'(x) = (x^3 - \sqrt{7}x + \pi)' = (x^3)' - (\sqrt{7}x)' + (\pi)'$.

Вычисляем производную каждого члена:

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

$(\sqrt{7}x)' = \sqrt{7} \cdot (x)' = \sqrt{7} \cdot 1 = \sqrt{7}$.

$\pi$ - это константа, поэтому $(\pi)' = 0$.

В результате, $f'(x) = 3x^2 - \sqrt{7} + 0 = 3x^2 - \sqrt{7}$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 - \sqrt{7}$.

5) Найдем производную функции $f(x) = 5x^{-4} + 2x - \sqrt{5}$.

Используем правило дифференцирования суммы и разности:

$f'(x) = (5x^{-4} + 2x - \sqrt{5})' = (5x^{-4})' + (2x)' - (\sqrt{5})'$.

Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и правило вынесения константы:

$(5x^{-4})' = 5 \cdot (-4)x^{-4-1} = -20x^{-5}$.

$(2x)' = 2$.

$(\sqrt{5})' = 0$ (как производная константы).

Следовательно, $f'(x) = -20x^{-5} + 2$.

Ответ: $f'(x) = -20x^{-5} + 2$.

6) Дана функция $f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3}x^2 - 7$.

Ее производная находится по правилу дифференцирования алгебраической суммы:

$f'(x) = (\frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3}x^2 - 7)' = (\frac{2}{5}x^5)' - (\sqrt{3}x^2)' - (7)'$.

Вычисляем производные, используя правило для степенной функции и вынесение константы:

$(\frac{2}{5}x^5)' = \frac{2}{5} \cdot 5x^{5-1} = 2x^4$.

$(\sqrt{3}x^2)' = \sqrt{3} \cdot 2x^{2-1} = 2\sqrt{3}x$.

$(7)' = 0$ (производная константы).

Итоговая производная: $f'(x) = 2x^4 - 2\sqrt{3}x - 0 = 2x^4 - 2\sqrt{3}x$.

Ответ: $f'(x) = 2x^4 - 2\sqrt{3}x$.