Номер 40.9, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.9. Точка движется по координатной прямой и ее координата в момент времени $t$ равна $y = f(t)$. На какое расстояние переместится точка, если:

1) $y = 2t + t^2, t \in [1; 3];$

2) $y = \sqrt{t} + t, t \in [4; 9]?$

1) Расстояние, которое переместится точка, равно модулю разности ее координат в конечный и начальный моменты времени, при условии, что точка не меняла направление движения. Чтобы проверить это, найдем производную функции координаты по времени, то есть скорость точки.

Функция координаты: $y(t) = 2t + t^2$, временной промежуток $t \in [1; 3]$.

Скорость точки $v(t)$ равна производной от координаты $y(t)$:

$v(t) = y'(t) = (2t + t^2)' = 2 + 2t$.

На отрезке $[1; 3]$ время $t$ положительно, следовательно, скорость $v(t) = 2 + 2t$ всегда будет положительной. Это означает, что точка движется монотонно в одном направлении (в сторону увеличения координаты).

В этом случае пройденное расстояние $S$ равно разности координат в конечный и начальный моменты времени.

Найдем координату точки в начальный момент времени $t=1$:

$y(1) = 2(1) + 1^2 = 2 + 1 = 3$.

Найдем координату точки в конечный момент времени $t=3$:

$y(3) = 2(3) + 3^2 = 6 + 9 = 15$.

Расстояние, которое переместилась точка, равно:

$S = y(3) - y(1) = 15 - 3 = 12$.

Ответ: 12.

2) Аналогично решим вторую часть задачи.

Функция координаты: $y(t) = \sqrt{t} + t$, временной промежуток $t \in [4; 9]$.

Найдем скорость точки, взяв производную от функции координаты:

$v(t) = y'(t) = (\sqrt{t} + t)' = (t^{1/2} + t)' = \frac{1}{2}t^{-1/2} + 1 = \frac{1}{2\sqrt{t}} + 1$.

На отрезке $[4; 9]$ время $t$ положительно, поэтому $\sqrt{t}$ также положителен. Скорость $v(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} + 1$ является суммой двух положительных чисел и, следовательно, всегда положительна на данном промежутке. Это значит, что точка движется в одном направлении без разворотов.

Пройденное расстояние $S$ равно разности координат в конечный и начальный моменты времени.

Найдем координату точки в начальный момент времени $t=4$:

$y(4) = \sqrt{4} + 4 = 2 + 4 = 6$.

Найдем координату точки в конечный момент времени $t=9$:

$y(9) = \sqrt{9} + 9 = 3 + 9 = 12$.

Расстояние, которое переместилась точка, равно:

$S = y(9) - y(4) = 12 - 6 = 6$.

Ответ: 6.