Страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Выясните, являются ли ограниченной снизу, ограниченной сверху

или ограниченной функции (7.6—7.7):

7.6. 1) $y = 5 + x$;

2) $y = -x + 9$;

3) $y = -1 - x^2$;

4) $y = x^2 + 3$;

5) $y = \sqrt{x} - 2$;

6) $y = -\sqrt{x} + 1$;

7) $y = \frac{2}{x}$, $x \le 0$;

8) $y = -\frac{3}{x}$, $x \ge 0$;

9) $y = |x| - 5$;

10) $y = -|x| + 2$;

11) $y = -|x| + 6$, где $-1 \le x \le 6$;

12) $y = |x| - 7$, где $-3 \le x \le 2$.

1) Функция $y = 5 + x$ является линейной. Ее область определения и область значений — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty, +\infty)$ и $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y$ также стремится к $+\infty$. Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y$ также стремится к $-\infty$. Таким образом, не существует такого числа $M$, чтобы $y \le M$, и не существует такого числа $m$, чтобы $y \ge m$. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Ответ: не ограничена ни снизу, ни сверху.

2) Функция $y = -x + 9$ является линейной. Ее область определения и область значений — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$ и $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y$ стремится к $-\infty$. Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y$ стремится к $+\infty$. Таким образом, функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Ответ: не ограничена ни снизу, ни сверху.

3) Функция $y = -1 - x^2$ — квадратичная. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине параболы. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Тогда $-x^2 \le 0$, и $-1 - x^2 \le -1$. Наибольшее значение функции равно -1 (при $x=0$). Таким образом, функция ограничена сверху числом -1. Поскольку при $x \to \pm\infty$ значение $y \to -\infty$, функция не ограничена снизу.

Ответ: ограничена сверху.

4) Функция $y = x^2 + 3$ — квадратичная. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Минимальное значение достигается в вершине параболы. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 3 \ge 3$. Наименьшее значение функции равно 3 (при $x=0$). Таким образом, функция ограничена снизу числом 3. Поскольку при $x \to \pm\infty$ значение $y \to +\infty$, функция не ограничена сверху.

Ответ: ограничена снизу.

5) Функция $y = \sqrt{x} - 2$. Область определения функции: $x \ge 0$. Арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ принимает неотрицательные значения, $\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, $\sqrt{x} - 2 \ge -2$. Наименьшее значение функции равно -2 (при $x=0$). Функция ограничена снизу. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$, поэтому функция не ограничена сверху.

Ответ: ограничена снизу.

6) Функция $y = -\sqrt{x} + 1$. Область определения: $x \ge 0$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$. Следовательно, $-\sqrt{x} + 1 \le 1$. Наибольшее значение функции равно 1 (при $x=0$). Функция ограничена сверху. При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$, поэтому функция не ограничена снизу.

Ответ: ограничена сверху.

7) Функция $y = \frac{2}{x}$ задана при условии $x \le 0$. Так как знаменатель не может быть равен нулю, область определения этой функции — $x < 0$. Для всех $x$ из этого промежутка значение $y$ будет отрицательным, то есть $y < 0$. Таким образом, функция ограничена сверху, например, числом 0. При $x \to 0$ (слева), $y \to -\infty$. Значит, функция не ограничена снизу.

Ответ: ограничена сверху.

8) Функция $y = -\frac{3}{x}$ задана при условии $x > 0$. Так как знаменатель не может быть равен нулю, область определения этой функции — $x > 0$. Для всех $x$ из этого промежутка значение $y = -3/x$ будет отрицательным, $y < 0$. Таким образом, функция ограничена сверху, например, числом 0. При $x \to 0$ (справа), $y \to -\infty$. Значит, функция не ограничена снизу.

Ответ: ограничена сверху.

9) Функция $y = |x| - 5$. Модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен: $|x| \ge 0$. Следовательно, $|x| - 5 \ge -5$. Наименьшее значение функции равно -5 (при $x=0$). Функция ограничена снизу. При $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$, поэтому функция не ограничена сверху.

Ответ: ограничена снизу.

10) Функция $y = -|x| + 2$. Так как $|x| \ge 0$, то $-|x| \le 0$. Следовательно, $-|x| + 2 \le 2$. Наибольшее значение функции равно 2 (при $x=0$). Функция ограничена сверху. При $x \to \pm\infty$, $y \to -\infty$, поэтому функция не ограничена снизу.

Ответ: ограничена сверху.

11) Функция $y = -|x| + 6$ рассматривается на отрезке $[-1, 6]$. Непрерывная функция на замкнутом отрезке всегда ограничена. Найдем ее наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее значение для функции вида $-|x|+c$ достигается при $x=0$. $y(0) = -|0| + 6 = 6$. Это наибольшее значение, так как $0 \in [-1, 6]$. Наименьшее значение будет на одном из концов отрезка. Вычислим значения в точках $x=-1$ и $x=6$: $y(-1) = -|-1| + 6 = 5$; $y(6) = -|6| + 6 = 0$. Наименьшее значение равно 0. Таким образом, для всех $x \in [-1, 6]$ выполняется $0 \le y(x) \le 6$. Функция ограничена и снизу, и сверху.

Ответ: ограниченная функция.

12) Функция $y = |x| - 7$ рассматривается на отрезке $[-3, 2]$. Функция непрерывна на замкнутом отрезке, следовательно, она ограничена. Найдем ее наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее значение для функции вида $|x|+c$ достигается при $x=0$. $y(0) = |0| - 7 = -7$. Это наименьшее значение, так как $0 \in [-3, 2]$. Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка, наиболее удаленном от нуля. Вычислим значения в точках $x=-3$ и $x=2$: $y(-3) = |-3| - 7 = 3 - 7 = -4$; $y(2) = |2| - 7 = 2 - 7 = -5$. Наибольшее значение равно -4. Таким образом, для всех $x \in [-3, 2]$ выполняется $-7 \le y(x) \le -4$. Функция ограничена и снизу, и сверху.

Ответ: ограниченная функция.

7.7.1) $y = x^2 - 4x + 5.25$, где $-1 \le x \le 4$;

2) $y = -x^2 - x + 3.75$, где $-5 \le x < 1$;

3) $y = x^2 + 6x + 6$, где $-6 \le x \le 0$;

4) $y = -x^2 - 8x - 18.5$, где $1 \le x \le 3$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ на заданном отрезке $[x_1; x_2]$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
2. Проверить, принадлежит ли $x_v$ заданному отрезку $[x_1; x_2]$.
3. Вычислить значения функции в точке $x_v$ (если она принадлежит отрезку) и на концах отрезка $y(x_1)$ и $y(x_2)$.
4. Среди полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

1) $y = x^2 - 4x + 5.25$, где $-1 \le x \le 4$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент $a = 1 > 0$.

Найдём абсциссу вершины: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Значение $x_v = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 4]$. Так как ветви параболы направлены вверх, в этой точке функция принимает своё наименьшее значение на отрезке.

$y_{min} = y(2) = 2^2 - 4(2) + 5.25 = 4 - 8 + 5.25 = 1.25$.

Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -1$ и $x = 4$.

$y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 5.25 = 1 + 4 + 5.25 = 10.25$.

$y(4) = 4^2 - 4(4) + 5.25 = 16 - 16 + 5.25 = 5.25$.

Сравнивая значения $10.25$ и $5.25$, получаем, что наибольшее значение равно $10.25$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $1.25$, наибольшее значение равно $10.25$.

2) $y = -x^2 - x + 3.75$, где $-5 \le x \le 1$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент $a = -1 < 0$.

Найдём абсциссу вершины: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -0.5$.

Значение $x_v = -0.5$ принадлежит отрезку $[-5; 1]$. Так как ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция принимает своё наибольшее значение на отрезке.

$y_{max} = y(-0.5) = -(-0.5)^2 - (-0.5) + 3.75 = -0.25 + 0.5 + 3.75 = 4$.

Наименьшее значение будет на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -5$ и $x = 1$.

$y(-5) = -(-5)^2 - (-5) + 3.75 = -25 + 5 + 3.75 = -16.25$.

$y(1) = -(1)^2 - 1 + 3.75 = -1 - 1 + 3.75 = 1.75$.

Сравнивая значения $-16.25$ и $1.75$, получаем, что наименьшее значение равно $-16.25$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-16.25$, наибольшее значение равно $4$.

3) $y = x^2 + 6x + 6$, где $-6 \le x \le 0$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$).

Найдём абсциссу вершины: $x_v = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Значение $x_v = -3$ принадлежит отрезку $[-6; 0]$. В этой точке достигается наименьшее значение функции на отрезке.

$y_{min} = y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 6 = 9 - 18 + 6 = -3$.

Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -6$ и $x = 0$.

$y(-6) = (-6)^2 + 6(-6) + 6 = 36 - 36 + 6 = 6$.

$y(0) = 0^2 + 6(0) + 6 = 6$.

Значения на концах отрезка совпадают и равны $6$, что и является наибольшим значением.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-3$, наибольшее значение равно $6$.

4) $y = -x^2 - 8x - 18.5$, где $1 \le x \le 3$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -1 < 0$).

Найдём абсциссу вершины: $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot (-1)} = -4$.

Значение $x_v = -4$ не принадлежит отрезку $[1; 3]$. Это означает, что на данном отрезке функция монотонно изменяется.

Так как ветви параболы направлены вниз, а вершина находится слева от отрезка ($x_v < 1$), функция на отрезке $[1; 3]$ является убывающей. Следовательно, наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

$y_{max} = y(1) = -(1)^2 - 8(1) - 18.5 = -1 - 8 - 18.5 = -27.5$.

$y_{min} = y(3) = -(3)^2 - 8(3) - 18.5 = -9 - 24 - 18.5 = -51.5$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-51.5$, наибольшее значение равно $-27.5$.

7.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 1.5 + 6x$, где $-2 \leq x \leq 1$;

2) $y = -0.8x + 10$, где $-5 \leq x < 4$;

3) $y = 11 - x^2$, где $2 < x \leq 7$;

4) $y = x^2 + 5.4$, где $-3 \leq x \leq -2$;

5) $y = \sqrt{x} + 5$, где $9 \leq x \leq 16$;

6) $y = -\sqrt{x} + 4$, где $0 < x \leq 4$;

7) $y = \frac{6}{x}$, где $0.5 \leq x < 3$;

8) $y = \frac{4}{x}$, где $-8 \leq x \leq -5$;

9) $y = -|x| - 8.5$, где $-7 \leq x \leq -3$;

10) $y = |x| + 1.6$, где $2 < x \leq 9$.

1) Дана функция $y = 1,5 + 6x$ на отрезке $[-2; 1]$. Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=6$. Так как $k > 0$, функция является монотонно возрастающей на всей области определения, включая и заданный отрезок. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в начальной точке отрезка, а наибольшее — в конечной.

Наименьшее значение при $x = -2$:

$y_{наим} = 1,5 + 6 \cdot (-2) = 1,5 - 12 = -10,5$.

Наибольшее значение при $x = 1$:

$y_{наиб} = 1,5 + 6 \cdot 1 = 1,5 + 6 = 7,5$.

Ответ: наименьшее значение $-10,5$, наибольшее значение $7,5$.

2) Дана функция $y = -0,8x + 10$ на полуинтервале $[-5; 4)$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=-0,8$. Так как $k < 0$, функция является монотонно убывающей. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x = -5$.

$y_{наиб} = -0,8 \cdot (-5) + 10 = 4 + 10 = 14$.

Наименьшее значение функция должна была бы принять в конечной точке $x=4$, но эта точка не включена в интервал ($x<4$). По мере приближения $x$ к $4$, значение $y$ стремится к $-0,8 \cdot 4 + 10 = -3,2 + 10 = 6,8$. Однако, поскольку $x$ никогда не достигает $4$, функция никогда не принимает значение $6,8$. Таким образом, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $14$, наименьшего значения не существует.

3) Дана функция $y = 11 - x^2$ на полуинтервале $(2; 7]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $x=0$. На заданном интервале $(2; 7]$, который находится правее вершины, функция является монотонно убывающей. Наименьшее значение функция принимает в конечной точке отрезка $x=7$:

$y_{наим} = 11 - 7^2 = 11 - 49 = -38$.

Наибольшее значение функция должна была бы принять в начальной точке $x=2$, но эта точка не включена в интервал ($x>2$). По мере приближения $x$ к $2$, значение $y$ стремится к $11 - 2^2 = 11 - 4 = 7$. Однако, поскольку $x$ никогда не достигает $2$, функция никогда не принимает значение $7$. Таким образом, наибольшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $-38$, наибольшего значения не существует.

4) Дана функция $y = x^2 + 5,4$ на отрезке $[-3; -2]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $x=0$. На заданном отрезке $[-3; -2]$, который находится левее вершины, функция является монотонно убывающей. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x=-3$, а наименьшее — в конечной точке $x=-2$.

Наибольшее значение при $x = -3$:

$y_{наиб} = (-3)^2 + 5,4 = 9 + 5,4 = 14,4$.

Наименьшее значение при $x = -2$:

$y_{наим} = (-2)^2 + 5,4 = 4 + 5,4 = 9,4$.

Ответ: наименьшее значение $9,4$, наибольшее значение $14,4$.

5) Дана функция $y = \sqrt{x} + 5$ на отрезке $[9; 16]$. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей при $x \ge 0$. Следовательно, функция $y = \sqrt{x} + 5$ также является возрастающей. Наименьшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x=9$:

$y_{наим} = \sqrt{9} + 5 = 3 + 5 = 8$.

Наибольшее значение функция принимает в конечной точке отрезка $x=16$:

$y_{наиб} = \sqrt{16} + 5 = 4 + 5 = 9$.

Ответ: наименьшее значение $8$, наибольшее значение $9$.

6) Дана функция $y = -\sqrt{x} + 4$ на полуинтервале $(0; 4]$. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей, а значит функция $g(x) = -\sqrt{x}$ является убывающей. Следовательно, функция $y = -\sqrt{x} + 4$ также является монотонно убывающей. Наименьшее значение функция принимает в конечной точке отрезка $x=4$:

$y_{наим} = -\sqrt{4} + 4 = -2 + 4 = 2$.

Наибольшее значение функция должна была бы принять в начальной точке $x=0$, но эта точка не включена в интервал ($x>0$). По мере приближения $x$ к $0$, значение $y$ стремится к $-\sqrt{0} + 4 = 4$. Однако, поскольку $x$ никогда не достигает $0$, функция никогда не принимает значение $4$. Таким образом, наибольшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $2$, наибольшего значения не существует.

7) Дана функция $y = \frac{6}{x}$ на полуинтервале $[0,5; 3)$. Это функция обратной пропорциональности (гипербола) с коэффициентом $k=6 > 0$. На интервале $(0; +\infty)$ функция является монотонно убывающей. Наибольшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x=0,5$:

$y_{наиб} = \frac{6}{0,5} = 12$.

Наименьшее значение функция должна была бы принять в конечной точке $x=3$, но эта точка не включена в интервал ($x<3$). По мере приближения $x$ к $3$, значение $y$ стремится к $\frac{6}{3} = 2$. Однако, поскольку $x$ никогда не достигает $3$, функция никогда не принимает значение $2$. Таким образом, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $12$, наименьшего значения не существует.

8) Дана функция $y = \frac{4}{x}$ на отрезке $[-8; -5]$. Это функция обратной пропорциональности (гипербола) с коэффициентом $k=4 > 0$. На интервале $(-\infty; 0)$ функция является монотонно убывающей. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x=-8$, а наименьшее — в конечной точке $x=-5$.

Наибольшее значение при $x = -8$:

$y_{наиб} = \frac{4}{-8} = -0,5$.

Наименьшее значение при $x = -5$:

$y_{наим} = \frac{4}{-5} = -0,8$.

Ответ: наименьшее значение $-0,8$, наибольшее значение $-0,5$.

9) Дана функция $y = -|x| - 8,5$ на отрезке $[-7; -3]$. На заданном отрезке все значения $x$ отрицательны, поэтому $|x| = -x$. Подставим это в функцию: $y = -(-x) - 8,5 = x - 8,5$. Получилась линейная функция с угловым коэффициентом $k=1 > 0$, следовательно, она является возрастающей на этом отрезке. Наименьшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x=-7$:

$y_{наим} = -7 - 8,5 = -15,5$.

Наибольшее значение функция принимает в конечной точке отрезка $x=-3$:

$y_{наиб} = -3 - 8,5 = -11,5$.

Ответ: наименьшее значение $-15,5$, наибольшее значение $-11,5$.

10) Дана функция $y = |x| + 1,6$ на полуинтервале $(2; 9]$. На заданном интервале все значения $x$ положительны, поэтому $|x| = x$. Подставим это в функцию: $y = x + 1,6$. Получилась линейная функция с угловым коэффициентом $k=1 > 0$, следовательно, она является возрастающей на этом интервале. Наибольшее значение функция принимает в конечной точке отрезка $x=9$:

$y_{наиб} = 9 + 1,6 = 10,6$.

Наименьшее значение функция должна была бы принять в начальной точке $x=2$, но эта точка не включена в интервал ($x>2$). По мере приближения $x$ к $2$, значение $y$ стремится к $2 + 1,6 = 3,6$. Однако, поскольку $x$ никогда не достигает $2$, функция никогда не принимает значение $3,6$. Таким образом, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $10,6$, наименьшего значения не существует.

7.9. Постройте график и перечислите свойства функции:

1) $y = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } -2 \le x < 1, \\ -x + 3, & \text{если } 1 \le x \le 8; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 4x + 5, & \text{если } -3 \le x \le 0, \\ -x^3 + 1, & \text{если } 0 < x \le 2. \end{cases}$

1) Дана функция $y = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } -2 \le x < 1, \\ -x + 3, & \text{если } 1 \le x \le 8. \end{cases}$

Построение графика:

График состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 1)$ строим график функции $y = x^2 + 2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 2)$. Вычислим значения на концах промежутка:

При $x = -2$, $y = (-2)^2 + 2 = 6$. Точка $(-2, 6)$ принадлежит графику (включительная).

При $x \to 1^-$, $y \to 1^2 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$ не принадлежит графику (выколотая).

2. На промежутке $[1, 8]$ строим график функции $y = -x + 3$. Это отрезок прямой. Вычислим значения на концах промежутка:

При $x = 1$, $y = -1 + 3 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит графику (включительная).

При $x = 8$, $y = -8 + 3 = -5$. Точка $(8, -5)$ принадлежит графику (включительная).

В точке $x=1$ функция имеет разрыв (скачок).

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [-2, 1) \cup [1, 8] = [-2, 8]$.

2. Область значений: На промежутке $[-2, 1)$ функция принимает значения от $y(0)=2$ до $y(-2)=6$. На промежутке $[1, 8]$ функция принимает значения от $y(8)=-5$ до $y(1)=2$. Объединяя эти множества, получаем $E(y) = [-5, 6]$.

3. Нули функции: Решим уравнение $y=0$. На первом промежутке $x^2 + 2 = 0$ не имеет действительных корней. На втором промежутке $-x + 3 = 0 \implies x = 3$. Корень $x=3$ принадлежит промежутку $[1, 8]$. Таким образом, у функции один нуль: $x=3$.

4. Промежутки знакопостоянства:

$y > 0$ при $x \in [-2, 3)$.

$y < 0$ при $x \in (3, 8]$.

$y=0$ при $x=3$.

5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):

Функция возрастает на промежутке $[0, 1)$.

Функция убывает на промежутках $[-2, 0]$ и $[1, 8]$.

6. Точки экстремума:

$x_{max} = -2$, $y_{max} = 6$ (наибольшее значение функции).

$x_{min} = 0$, $y_{min} = 2$ (локальный минимум).

$x_{min} = 8$, $y_{min} = -5$ (наименьшее значение функции).

7. Четность, нечетность: Область определения $D(y) = [-2, 8]$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всех точках области определения, кроме точки $x=1$. В точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода (скачок), так как предел слева $\lim_{x\to1^-} y(x) = 3$, а значение функции в точке $y(1)=2$.

Ответ: График функции состоит из участка параболы $y=x^2+2$ на интервале $[-2, 1)$ и отрезка прямой $y=-x+3$ на отрезке $[1, 8]$. Свойства функции: 1) $D(y) = [-2, 8]$; 2) $E(y) = [-5, 6]$; 3) Нуль функции $x=3$; 4) $y>0$ при $x \in [-2, 3)$, $y<0$ при $x \in (3, 8]$; 5) Функция возрастает на $[0, 1)$ и убывает на $[-2, 0]$ и $[1, 8]$; 6) Наибольшее значение $y(-2)=6$, наименьшее значение $y(8)=-5$; 7) Функция общего вида; 8) Функция имеет разрыв первого рода в точке $x=1$.

2) Дана функция $y = \begin{cases} 4x + 5, & \text{если } -3 \le x \le 0, \\ -x^3 + 1, & \text{если } 0 < x \le 2. \end{cases}$

Построение графика:

График состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-3, 0]$ строим график функции $y = 4x + 5$. Это отрезок прямой. Вычислим значения на концах промежутка:

При $x = -3$, $y = 4(-3) + 5 = -7$. Точка $(-3, -7)$ принадлежит графику (включительная).

При $x = 0$, $y = 4(0) + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$ принадлежит графику (включительная).

2. На промежутке $(0, 2]$ строим график функции $y = -x^3 + 1$. Это часть кубической параболы. Вычислим значения на концах промежутка:

При $x \to 0^+$, $y \to -(0)^3 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$ не принадлежит графику (выколотая).

При $x = 2$, $y = -(2)^3 + 1 = -8 + 1 = -7$. Точка $(2, -7)$ принадлежит графику (включительная).

В точке $x=0$ функция имеет разрыв (скачок).

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [-3, 0] \cup (0, 2] = [-3, 2]$.

2. Область значений: На промежутке $[-3, 0]$ функция принимает значения от $y(-3)=-7$ до $y(0)=5$. На промежутке $(0, 2]$ функция принимает значения от $y(2)=-7$ до $y \to 1$ при $x \to 0^+$. Объединяя эти множества, получаем $E(y) = [-7, 5]$.

3. Нули функции: Решим уравнение $y=0$. На первом промежутке $4x + 5 = 0 \implies x = -5/4 = -1.25$. Корень $x=-1.25$ принадлежит промежутку $[-3, 0]$. На втором промежутке $-x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$. Корень $x=1$ принадлежит промежутку $(0, 2]$. Таким образом, у функции два нуля: $x=-1.25$ и $x=1$.

4. Промежутки знакопостоянства:

$y > 0$ при $x \in (-1.25, 1)$.

$y < 0$ при $x \in [-3, -1.25) \cup (1, 2]$.

$y=0$ при $x=-1.25$ и $x=1$.

5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):

Функция возрастает на промежутке $[-3, 0]$.

Функция убывает на промежутке $(0, 2]$.

6. Точки экстремума:

$x_{max} = 0$, $y_{max} = 5$ (наибольшее значение функции).

$x_{min} = -3$ и $x_{min} = 2$, $y_{min} = -7$ (наименьшее значение функции).

7. Четность, нечетность: Область определения $D(y) = [-3, 2]$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всех точках области определения, кроме точки $x=0$. В точке $x=0$ функция терпит разрыв первого рода (скачок), так как значение функции в точке $y(0)=5$, а предел справа $\lim_{x\to0^+} y(x) = 1$.

Ответ: График функции состоит из отрезка прямой $y=4x+5$ на отрезке $[-3, 0]$ и участка кубической кривой $y=-x^3+1$ на интервале $(0, 2]$. Свойства функции: 1) $D(y) = [-3, 2]$; 2) $E(y) = [-7, 5]$; 3) Нули функции $x=-1.25$ и $x=1$; 4) $y>0$ при $x \in (-1.25, 1)$, $y<0$ при $x \in [-3, -1.25) \cup (1, 2]$; 5) Функция возрастает на $[-3, 0]$ и убывает на $(0, 2]$; 6) Наибольшее значение $y(0)=5$, наименьшее значение $y(-3)=y(2)=-7$; 7) Функция общего вида; 8) Функция имеет разрыв первого рода в точке $x=0$.

7.10. Какие из приведенных графиков являются графиками:

1) четной функции;

2) нечетной функции;

3) функции, которая является ни четной, ни нечетной (рис. 7.20)?

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения четной и нечетной функций и их графические свойства.

• График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Для такой функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.
• График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)). Для такой функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения.
• Если график функции не обладает ни одним из указанных видов симметрии, то эта функция является ни четной, ни нечетной.

Проанализируем каждый из графиков, представленных на рис. 7.20 (обозначим их как а, б, в, г слева направо).

1) четной функции;

Ищем график, симметричный относительно оси Oy.

График а) представляет собой параболу, вершина которой лежит на оси Oy. Этот график симметричен относительно оси Oy. Следовательно, это график четной функции.

Остальные графики (б, в, г) не обладают симметрией относительно оси Oy.

Ответ: а).

2) нечетной функции;

Ищем график, симметричный относительно начала координат.

График б) обладает центральной симметрией относительно точки (0,0). Если точка с координатами $(x, y)$ принадлежит графику, то и точка с координатами $(-x, -y)$ также ему принадлежит. Следовательно, это график нечетной функции.

Остальные графики (а, в, г) не обладают симметрией относительно начала координат.

Ответ: б).

3) функции, которая является ни четной, ни нечетной;

Ищем графики, которые не являются симметричными ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

График в) — это отрезок прямой, который не проходит через начало координат и не симметричен относительно оси Oy. Следовательно, он изображает функцию, не являющуюся ни четной, ни нечетной.

График г) — это график, похожий на график модуля, но смещенный по горизонтали. Он не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат. Следовательно, он также изображает функцию, не являющуюся ни четной, ни нечетной.

Ответ: в), г).

Докажите, что являются четными функции (7.11–7.13):

7.11.1) $y = 19x^2$; 2) $y = x^2 - 34$; 3) $y = x^4 - 7x^2$;

4) $y = -x^2 - x^4$; 5) $y = \frac{10}{x^2}$; 6) $y = - \frac{8}{3+x^2}$.

2)

3)

4)

Рис. 7.20

Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняются два условия:

1. Область определения симметрична относительно начала координат (то есть если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ принадлежит ей).

2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

7.11. 1) $y = 19x^2$

Пусть $f(x) = 19x^2$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 19(-x)^2 = 19x^2$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, оба условия выполнены, и функция является четной.

Ответ: функция является четной.

2) $y = x^2 - 34$

Пусть $f(x) = x^2 - 34$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^2 - 34 = x^2 - 34$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

3) $y = x^4 - 7x^2$

Пусть $f(x) = x^4 - 7x^2$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^4 - 7(-x)^2 = x^4 - 7x^2$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

4) $y = -x^2 - x^4$

Пусть $f(x) = -x^2 - x^4$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = -(-x)^2 - (-x)^4 = -x^2 - x^4$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

5) $y = \frac{10}{x^2}$

Пусть $f(x) = \frac{10}{x^2}$.

1. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. То есть, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{10}{(-x)^2} = \frac{10}{x^2}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

6) $y = -\frac{8}{3 + x^2}$

Пусть $f(x) = -\frac{8}{3 + x^2}$.

1. Знаменатель дроби $3 + x^2$ никогда не обращается в ноль, поскольку $x^2 \ge 0$, а значит $3 + x^2 \ge 3$. Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, и она симметрична.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = -\frac{8}{3 + (-x)^2} = -\frac{8}{3 + x^2}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

40.6. 1) Длина стороны квадрата измерена с точностью до $0,2$ см.
С какой точностью найден периметр квадрата?

2) С какой точностью достаточно измерить длину стороны правильного шестиугольника, чтобы найти его периметр с точностью до $0,1$ дм?

1)Пусть $a$ — длина стороны квадрата, а $\Delta a$ — абсолютная погрешность (точность) ее измерения. По условию задачи, $\Delta a = 0,2$ см. Периметр квадрата $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$. Абсолютная погрешность периметра $\Delta P$ связана с погрешностью измерения стороны следующим соотношением: $\Delta P = 4 \cdot \Delta a$. Подставим известное значение $\Delta a$:$\Delta P = 4 \cdot 0,2 \text{ см} = 0,8 \text{ см}$.Следовательно, периметр квадрата будет найден с точностью до 0,8 см.Ответ: с точностью до 0,8 см.

2)Пусть $b$ — длина стороны правильного шестиугольника, а $\Delta b$ — искомая точность ее измерения. Периметр правильного шестиугольника $P_h$ находится по формуле $P_h = 6b$. По условию, требуемая точность нахождения периметра составляет $\Delta P_h = 0,1$ дм. Погрешность периметра связана с погрешностью измерения стороны соотношением $\Delta P_h = 6 \cdot \Delta b$. Чтобы найти достаточную точность измерения стороны, выразим $\Delta b$ из этой формулы:$\Delta b = \frac{\Delta P_h}{6}$.Подставим заданное значение $\Delta P_h$:$\Delta b = \frac{0,1 \text{ дм}}{6} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6} \text{ дм} = \frac{1}{60} \text{ дм}$.Таким образом, чтобы найти периметр с указанной точностью, достаточно измерить длину стороны с точностью до $\frac{1}{60}$ дм.Ответ: с точностью до $\frac{1}{60}$ дм (что эквивалентно $\frac{1}{6}$ см).

40.7. Докажите, что не дифференцируема в указанных точках функция:

1) $y = 2x + |x - 1|, x_0 = 1;$

2) $y = |x - x^3|, x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1;$

3) $y = \begin{cases} 2x^2 \text{ при } x < 0, \\ x + 1 \text{ при } x \ge 0, \end{cases} \text{ и } x_0 = 0;$

4) $y = \begin{cases} 1 - x^2 \text{ при } x \le 1, \\ 3 - x \text{ при } x > 1, \end{cases} \text{ и } x_0 = 1;$

5) $y = \sqrt{x^3}, x_0 = 0;$

6) $y = \sqrt{x^4 - 8x^2 + 16}, x_1 = 2, x_2 = -2.$

1) $y = 2x + |x - 1|$, $x_0 = 1$;

Для того чтобы доказать, что функция недифференцируема в точке, необходимо показать, что ее левая и правая производные в этой точке не равны.

Сначала представим функцию в кусочно-заданном виде, раскрыв модуль $|x - 1|$:

$y(x) = \begin{cases} 2x + (x-1), & \text{если } x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 \\ 2x - (x-1), & \text{если } x - 1 < 0 \implies x < 1 \end{cases} = \begin{cases} 3x - 1, & \text{если } x \ge 1 \\ x + 1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

Теперь найдем односторонние производные в точке $x_0 = 1$.

Правая производная (для $x > 1$):

$y'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} (3x-1)' = \lim_{x \to 1^+} 3 = 3$.

Левая производная (для $x < 1$):

$y'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} (x+1)' = \lim_{x \to 1^-} 1 = 1$.

Поскольку правая производная не равна левой производной ($3 \neq 1$), функция не является дифференцируемой в точке $x_0 = 1$.

Ответ: Функция недифференцируема в точке $x_0 = 1$, так как ее односторонние производные в этой точке не равны: $y'_+(1) = 3$, а $y'_-(1) = 1$.

2) $y = |x - x^3|$, $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$;

Раскроем модуль, разложив выражение $x - x^3$ на множители: $x - x^3 = x(1 - x^2) = x(1-x)(1+x)$. Нули выражения: $x=0$, $x=1$, $x=-1$.

$y(x) = \begin{cases} x - x^3, & \text{если } x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1] \\ -(x - x^3) = x^3 - x, & \text{если } x \in (-1, 0) \cup (1, \infty) \end{cases}$

Найдем производную для каждого интервала:

$y'(x) = \begin{cases} 1 - 3x^2, & \text{если } x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1) \\ 3x^2 - 1, & \text{если } x \in (-1, 0) \cup (1, \infty) \end{cases}$

Теперь проверим дифференцируемость в указанных точках, сравнивая односторонние производные.

В точке $x_1 = 0$:

$y'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} (3x^2 - 1) = 3(0)^2 - 1 = -1$.

$y'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} (1 - 3x^2) = 1 - 3(0)^2 = 1$.

Так как $y'_-(0) \neq y'_+(0)$, функция недифференцируема в $x_1 = 0$.

В точке $x_2 = 1$:

$y'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} (1 - 3x^2) = 1 - 3(1)^2 = -2$.

$y'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} (3x^2 - 1) = 3(1)^2 - 1 = 2$.

Так как $y'_-(1) \neq y'_+(1)$, функция недифференцируема в $x_2 = 1$.

В точке $x_3 = -1$:

$y'_-(-1) = \lim_{x \to -1^-} (1 - 3x^2) = 1 - 3(-1)^2 = -2$.

$y'_+(-1) = \lim_{x \to -1^+} (3x^2 - 1) = 3(-1)^2 - 1 = 2$.

Так как $y'_-(-1) \neq y'_+(-1)$, функция недифференцируема в $x_3 = -1$.

Ответ: Функция недифференцируема в точках $x_1=0$, $x_2=1$ и $x_3=-1$, так как в каждой из этих точек односторонние производные не равны между собой.

3) $y = \begin{cases} 2x^2 & \text{при } x < 0, \\ x + 1 & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$ и $x_0 = 0$;

Необходимым условием дифференцируемости функции в точке является ее непрерывность в этой точке. Проверим функцию на непрерывность в точке $x_0 = 0$.

Найдем односторонние пределы и значение функции в точке.

Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x^2) = 2 \cdot 0^2 = 0$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+1) = 0 + 1 = 1$.

Значение функции в точке: $y(0) = 0 + 1 = 1$.

Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 0^-} y(x) \neq \lim_{x \to 0^+} y(x)$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x_0 = 0$.

Поскольку функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$, она не может быть в ней дифференцируемой.

Ответ: Функция недифференцируема в точке $x_0 = 0$, так как она не является непрерывной в этой точке.

4) $y = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 3 - x & \text{при } x > 1 \end{cases}$ и $x_0 = 1$;

Проверим необходимое условие дифференцируемости — непрерывность функции в точке $x_0 = 1$.

Найдем односторонние пределы и значение функции в точке.

Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (1 - x^2) = 1 - 1^2 = 0$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (3 - x) = 3 - 1 = 2$.

Значение функции в точке: $y(1) = 1 - 1^2 = 0$.

Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу, функция терпит разрыв первого рода в точке $x_0 = 1$.

Поскольку функция разрывна в точке $x_0=1$, она в этой точке недифференцируема.

Ответ: Функция недифференцируема в точке $x_0 = 1$, так как она не является непрерывной в этой точке.

5) $y = \sqrt[3]{x^2}$, $x_0 = 0$;

Запишем функцию в виде $y = x^{2/3}$. Проверим дифференцируемость функции в точке $x_0 = 0$ по определению производной:

$y'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(0 + \Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(0 + \Delta x)^{2/3} - 0^{2/3}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^{2/3}}{\Delta x}$

$y'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x)^{2/3 - 1} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x)^{-1/3} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{\Delta x}}$.

Этот предел не существует в виде конечного числа.

При $\Delta x \to 0^+$ (справа), $\frac{1}{\sqrt[3]{\Delta x}} \to +\infty$.

При $\Delta x \to 0^-$ (слева), $\frac{1}{\sqrt[3]{\Delta x}} \to -\infty$.

Так как предел, определяющий производную, не является конечным числом, функция недифференцируема в точке $x_0 = 0$. График функции в этой точке имеет "острие" (касп), а касательная является вертикальной.

Ответ: Функция недифференцируема в точке $x_0 = 0$, так как производная в этой точке обращается в бесконечность.

6) $y = \sqrt{x^4 - 8x^2 + 16}$, $x_1 = 2, x_2 = -2$;

Упростим выражение под корнем. Заметим, что это полный квадрат:

$x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 4 + 4^2 = (x^2 - 4)^2$.

Тогда функция принимает вид: $y = \sqrt{(x^2 - 4)^2} = |x^2 - 4|$.

Точки, в которых следует проверить дифференцируемость, это нули выражения под модулем: $x^2 - 4 = 0$, то есть $x = 2$ и $x = -2$.

Раскроем модуль:

$y(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{если } x^2 - 4 \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \\ -(x^2 - 4) = 4 - x^2, & \text{если } x^2 - 4 < 0 \implies x \in (-2, 2) \end{cases}$

Найдем производную:

$y'(x) = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \\ -2x, & \text{если } x \in (-2, 2) \end{cases}$

В точке $x_1 = 2$:

$y'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} (-2x) = -2(2) = -4$.

$y'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} (2x) = 2(2) = 4$.

Так как $y'_-(2) \neq y'_+(2)$, функция недифференцируема в $x_1 = 2$.

В точке $x_2 = -2$:

$y'_-(-2) = \lim_{x \to -2^-} (2x) = 2(-2) = -4$.

$y'_+(-2) = \lim_{x \to -2^+} (-2x) = -2(-2) = 4$.

Так как $y'_-(-2) \neq y'_+(-2)$, функция недифференцируема в $x_2 = -2$.

Ответ: Функция недифференцируема в точках $x_1=2$ и $x_2=-2$, так как в этих точках ее односторонние производные не равны.

40.8. Используя определение производной функции в точке, найдите значение производной функции в точке $x_0$:

1)

$y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{при } x > 1, \end{cases} \text{ и } x_0 = 1;$

2)

$y = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2 - 2x & \text{при } x > 1, \end{cases} \text{ и } x_0 = 1.$

1) Заданная функция $y = f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{при } x > 1, \end{cases}$ и точка $x_0 = 1$.

Определение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

Поскольку функция задана по-разному для $x \le 1$ и $x > 1$, для нахождения производной в точке $x_0 = 1$ необходимо вычислить односторонние пределы: левостороннюю и правостороннюю производные. Если они равны, то производная в этой точке существует и равна их общему значению.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0=1$:

$f(x_0) = f(1) = 1^2 = 1$.

Найдем левостороннюю производную (при $\Delta x \to 0^-$, то есть $\Delta x < 0$ и $x_0 + \Delta x < 1$). В этом случае используем формулу $f(x) = x^2$.

$f'_{-}(1) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(1 + \Delta x)^2 - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (2 + \Delta x) = 2$.

Теперь найдем правостороннюю производную (при $\Delta x \to 0^+$, то есть $\Delta x > 0$ и $x_0 + \Delta x > 1$). В этом случае используем формулу $f(x) = 2x - 1$.

$f'_{+}(1) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{(2(1 + \Delta x) - 1) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{2 + 2\Delta x - 1 - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} 2 = 2$.

Так как левосторонняя и правосторонняя производные в точке $x_0 = 1$ равны ($f'_{-}(1) = f'_{+}(1) = 2$), то производная функции в этой точке существует и равна 2.

Ответ: 2.

2) Заданная функция $y = f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2 - 2x & \text{при } x > 1, \end{cases}$ и точка $x_0 = 1$.

Как и в предыдущем пункте, используем определение производной через односторонние пределы.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0=1$:

$f(x_0) = f(1) = 1 - 1^2 = 0$.

Найдем левостороннюю производную (при $\Delta x \to 0^-$, то есть $\Delta x < 0$ и $x_0 + \Delta x < 1$). В этом случае используем формулу $f(x) = 1 - x^2$.

$f'_{-}(1) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(1 - (1 + \Delta x)^2) - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{1 - (1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-2\Delta x - (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (-2 - \Delta x) = -2$.

Теперь найдем правостороннюю производную (при $\Delta x \to 0^+$, то есть $\Delta x > 0$ и $x_0 + \Delta x > 1$). В этом случае используем формулу $f(x) = 2 - 2x$.

$f'_{+}(1) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{(2 - 2(1 + \Delta x)) - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{2 - 2 - 2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{-2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} (-2) = -2$.

Так как левосторонняя и правосторонняя производные в точке $x_0 = 1$ равны ($f'_{-}(1) = f'_{+}(1) = -2$), то производная функции в этой точке существует и равна -2.

Ответ: -2.

40.9. Точка движется по координатной прямой и ее координата в момент времени $t$ равна $y = f(t)$. На какое расстояние переместится точка, если:

1) $y = 2t + t^2, t \in [1; 3];$

2) $y = \sqrt{t} + t, t \in [4; 9]?$

1) Расстояние, которое переместится точка, равно модулю разности ее координат в конечный и начальный моменты времени, при условии, что точка не меняла направление движения. Чтобы проверить это, найдем производную функции координаты по времени, то есть скорость точки.

Функция координаты: $y(t) = 2t + t^2$, временной промежуток $t \in [1; 3]$.

Скорость точки $v(t)$ равна производной от координаты $y(t)$:

$v(t) = y'(t) = (2t + t^2)' = 2 + 2t$.

На отрезке $[1; 3]$ время $t$ положительно, следовательно, скорость $v(t) = 2 + 2t$ всегда будет положительной. Это означает, что точка движется монотонно в одном направлении (в сторону увеличения координаты).

В этом случае пройденное расстояние $S$ равно разности координат в конечный и начальный моменты времени.

Найдем координату точки в начальный момент времени $t=1$:

$y(1) = 2(1) + 1^2 = 2 + 1 = 3$.

Найдем координату точки в конечный момент времени $t=3$:

$y(3) = 2(3) + 3^2 = 6 + 9 = 15$.

Расстояние, которое переместилась точка, равно:

$S = y(3) - y(1) = 15 - 3 = 12$.

Ответ: 12.

2) Аналогично решим вторую часть задачи.

Функция координаты: $y(t) = \sqrt{t} + t$, временной промежуток $t \in [4; 9]$.

Найдем скорость точки, взяв производную от функции координаты:

$v(t) = y'(t) = (\sqrt{t} + t)' = (t^{1/2} + t)' = \frac{1}{2}t^{-1/2} + 1 = \frac{1}{2\sqrt{t}} + 1$.

На отрезке $[4; 9]$ время $t$ положительно, поэтому $\sqrt{t}$ также положителен. Скорость $v(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} + 1$ является суммой двух положительных чисел и, следовательно, всегда положительна на данном промежутке. Это значит, что точка движется в одном направлении без разворотов.

Пройденное расстояние $S$ равно разности координат в конечный и начальный моменты времени.

Найдем координату точки в начальный момент времени $t=4$:

$y(4) = \sqrt{4} + 4 = 2 + 4 = 6$.

Найдем координату точки в конечный момент времени $t=9$:

$y(9) = \sqrt{9} + 9 = 3 + 9 = 12$.

Расстояние, которое переместилась точка, равно:

$S = y(9) - y(4) = 12 - 6 = 6$.

Ответ: 6.

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ

Леонард Эйлер

(1707—1788)

40.10. Обозначение разности $Δx$ в 1755 г. ввел Леонард Эйлер — швейцарский, немецкий и российский математик и механик.

Обозначение производной $f'x$ в 1770 г. ввел Жозеф Луи Лагранж — французский математик, астроном и механик.

Жозеф Луи Лагранж

(1736—1813)

Леонард Эйлер (1707–1788)

Леонард Эйлер — выдающийся швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие множества областей науки. Он считается одним из величайших и самых продуктивных математиков в истории. Эйлер долгое время работал в Петербургской и Берлинской академиях наук и оставил после себя более 800 научных работ, оказавших влияние на несколько поколений учёных.

Его интересы охватывали практически все разделы математики того времени: математический анализ, теорию чисел, теорию графов, дифференциальную геометрию, а также механику, оптику, астрономию и теорию музыки.

В 1755 году в своём фундаментальном труде «Дифференциальное исчисление» (Institutiones calculi differentialis) Леонард Эйлер ввёл в математику обозначение $\Delta x$ (читается «дельта икс») для обозначения конечной разности, или приращения, переменной. Приращение аргумента $\Delta x$ определяется как разность между его новым и первоначальным значениями: $\Delta x = x_1 - x_0$. Соответствующее приращение функции $y = f(x)$ обозначается как $\Delta y$ (или $\Delta f$) и вычисляется как $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Это обозначение стало ключевым в развитии дифференциального исчисления, так как производная функции определяется через него как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Помимо символа $\Delta$, Эйлеру принадлежит авторство многих других общепринятых сегодня математических обозначений, таких как число $e$ для основания натурального логарифма, символ $i$ для мнимой единицы, $\pi$ для отношения длины окружности к её диаметру, $\Sigma$ для знака суммирования и стандартное обозначение $f(x)$ для функции.

Ответ: Леонард Эйлер в 1755 году ввёл обозначение $\Delta x$ для конечной разности (приращения) аргумента, что стало фундаментальным для формализации понятий дифференциального исчисления.

Жозеф Луи Лагранж (1736–1813)

Жозеф Луи Лагранж — выдающийся французский (итальянского происхождения) математик, астроном и механик. Его работы оказали огромное влияние на развитие математического анализа, теории чисел и, в особенности, на создание аналитической механики.

Лагранж работал в Турине, Берлине (где он сменил Эйлера на посту директора физико-математического класса Прусской академии наук) и Париже. Его главный труд — «Аналитическая механика» («Mécanique analytique»), в котором он представил классическую механику как стройную логическую систему, основанную на вариационных принципах.

В 1770 году Лагранж, стремясь придать математическому анализу большую строгость и избавиться от концепции «бесконечно малых», предложил новый подход. В рамках этого подхода он ввёл обозначение $f'(x)$ для производной функции $f(x)$. Это обозначение, где штрих (прим) указывает на операцию взятия производной, оказалось чрезвычайно удобным и наглядным и получило широчайшее распространение.

Лагранж рассматривал производную (которую он называл «производной функцией») как коэффициент при первом члене в разложении функции в степенной ряд Тейлора: $f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)}{2!}h^2 + \dots$ . Он также ввёл аналогичные обозначения для производных высших порядков: $f''(x)$ для второй производной, $f'''(x)$ для третьей и так далее.

Обозначение Лагранжа $f'(x)$ активно используется и сегодня наряду с другими системами нотации, такими как нотация Лейбница ($\frac{dy}{dx}$) и нотация Ньютона ($\dot{y}$), и особенно удобно, когда функция рассматривается как самостоятельный математический объект.

Ответ: Жозеф Луи Лагранж в 1770 году ввёл обозначение $f'(x)$ (читается «эф штрих от икс») для первой производной функции, а также обозначения для производных высших порядков ($f''(x)$, $f'''(x)$), которые стали стандартными в современном математическом анализе.