Страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

*7.41. Функция $y = f(x)$ является нечетной. Известно, что:

1) $f(x) = \sqrt{x}$ при $x > 0$;

2) $f(x) = x^2 - 4x$ при $x \ge 0$;

3) $f(x) = x^2 + 2x$ при $x \le 0$.

Постройте график функции $y = f(x)$.

Задайте данную функцию одной формулой.

Поскольку функция $y = f(x)$ является нечетной, для нее выполняется свойство $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит ему. Мы будем использовать это свойство для построения графиков и нахождения формул.

1) Дано, что $f(x) = \sqrt{x}$ при $x > 0$.

Найдем вид функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечетности, получаем:

$f(x) = -f(-x)$

Так как $-x > 0$, мы можем применить заданную формулу для $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{-x}$.

Следовательно, при $x < 0$ функция имеет вид: $f(x) = -\sqrt{-x}$.

Для нечетной функции, если $0$ входит в область определения, то $f(0)=0$. Проверим: $\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} = 0$, поэтому мы можем доопределить функцию в нуле: $f(0)=0$.

Таким образом, функция задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \ge 0 \\ -\sqrt{-x}, & x < 0 \end{cases}$

Построение графика:

1. При $x \ge 0$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и направленная вправо и вверх.

2. При $x < 0$ график функции $y = -\sqrt{-x}$ является симметричным отражением графика $y = \sqrt{x}$ относительно начала координат. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и направленная влево и вниз.

Задание одной формулой:

Чтобы объединить две части в одну формулу, можно использовать функцию знака $sgn(x)$ и модуль $|x|$.

При $x > 0$: $f(x) = \sqrt{x} = 1 \cdot \sqrt{|x|} = sgn(x) \sqrt{|x|}$.

При $x < 0$: $f(x) = -\sqrt{-x} = -1 \cdot \sqrt{|x|} = sgn(x) \sqrt{|x|}$.

При $x = 0$: $f(0) = 0$, и $sgn(0) \sqrt{|0|} = 0$.

Таким образом, функция может быть задана одной формулой.

Ответ: $f(x) = sgn(x)\sqrt{|x|}$.

2) Дано, что $f(x) = x^2 - 4x$ при $x \ge 0$.

Найдем вид функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечетности:

$f(x) = -f(-x)$

Подставляем $-x$ в заданную формулу: $f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x$.

Следовательно, при $x < 0$ функция имеет вид: $f(x) = -(x^2 + 4x) = -x^2 - 4x$.

Таким образом, функция задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & x \ge 0 \\ -x^2 - 4x, & x < 0 \end{cases}$

Построение графика:

1. При $x \ge 0$ строим график функции $y = x^2 - 4x$. Это часть параболы с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Значение в вершине $y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 = -4$. Точка вершины $(2, -4)$. Корни уравнения $x(x-4)=0$ находятся в точках $x=0$ и $x=4$. Строим часть параболы для $x \ge 0$.

2. График для $x < 0$ симметричен построенной части относительно начала координат. Вершина $(2, -4)$ отобразится в точку $(-2, 4)$, а корень $(4, 0)$ в корень $(-4, 0)$. График при $x < 0$ описывается функцией $y = -x^2 - 4x$, что является параболой с ветвями вниз и вершиной в точке $(-2, 4)$.

Задание одной формулой:

Для объединения формул используем свойство модуля: $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$.

Рассмотрим выражение $x|x| - 4x$.

При $x \ge 0$: $x(x) - 4x = x^2 - 4x$.

При $x < 0$: $x(-x) - 4x = -x^2 - 4x$.

Оба случая совпадают с нашей кусочно-заданной функцией.

Ответ: $f(x) = x|x| - 4x$.

3) Дано, что $f(x) = x^2 + 2x$ при $x \le 0$.

Найдем вид функции при $x > 0$. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Используя свойство нечетности:

$f(x) = -f(-x)$

Подставляем $-x$ в заданную формулу: $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$.

Следовательно, при $x > 0$ функция имеет вид: $f(x) = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$.

Таким образом, функция задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x > 0 \\ x^2 + 2x, & x \le 0 \end{cases}$

Построение графика:

1. При $x \le 0$ строим график функции $y = x^2 + 2x$. Это часть параболы с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -2/(2 \cdot 1) = -1$. Значение в вершине $y_v = (-1)^2 + 2(-1) = -1$. Точка вершины $(-1, -1)$. Корни уравнения $x(x+2)=0$ находятся в точках $x=0$ и $x=-2$. Строим часть параболы для $x \le 0$.

2. График для $x > 0$ симметричен построенной части относительно начала координат. Вершина $(-1, -1)$ отобразится в точку $(1, 1)$, а корень $(-2, 0)$ в корень $(2, 0)$. График при $x > 0$ описывается функцией $y = -x^2 + 2x$, что является параболой с ветвями вниз и вершиной в точке $(1, 1)$.

Задание одной формулой:

Рассмотрим выражение $-x|x| + 2x$.

При $x > 0$: $-x(x) + 2x = -x^2 + 2x$.

При $x \le 0$: $-x(-x) + 2x = x^2 + 2x$.

Оба случая совпадают с нашей кусочно-заданной функцией.

Ответ: $f(x) = -x|x| + 2x$.

7.42. Постройте график и запишите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = ||x-2|-2|$

2) $f(x) = ||x+1|-3|$

3) $f(x) = ||x+2|-4|$

1) Для построения графика функции $f(x) = ||x-2|-2|$ выполним следующие шаги:

1. Построим график функции $y_1 = |x-2|$. Это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вправо по оси Ox. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(2, 0)$.

2. Построим график функции $y_2 = |x-2|-2$. Для этого сдвинем график $y_1$ на 2 единицы вниз по оси Oy. Вершина сместится в точку $(2, -2)$. Найдем точки пересечения этого графика с осью Ox: $|x-2|-2 = 0 \implies |x-2| = 2$. Отсюда $x-2 = 2$ или $x-2 = -2$, что дает $x=4$ и $x=0$.

3. Построим итоговый график $f(x) = ||x-2|-2|$. Для этого часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox (на интервале $(0, 4)$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси, остается без изменений.

Полученный график имеет W-образную форму.

Теперь найдем точки минимума и максимума.

Точки минимума функции — это точки, в которых она достигает своего наименьшего значения, равного 0. Это происходит в точках $x=0$ и $x=4$.

Точка локального максимума — это вершина центрального "пика". Она получена отражением точки $(2, -2)$ и имеет координаты $(2, 2)$. Таким образом, точка максимума — $x=2$.

Ответ: Точки минимума: $x=0$, $x=4$. Точка максимума: $x=2$.

2) Для построения графика функции $f(x) = ||x+1|-3|$ выполним следующие шаги:

1. Построим график функции $y_1 = |x+1|$. Это график $y=|x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси Ox. Вершина находится в точке $(-1, 0)$.

2. Построим график функции $y_2 = |x+1|-3$, сдвинув график $y_1$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Вершина сместится в точку $(-1, -3)$. Найдем точки пересечения с осью Ox: $|x+1|-3 = 0 \implies |x+1| = 3$. Отсюда $x+1 = 3$ или $x+1 = -3$, что дает $x=2$ и $x=-4$.

3. Построим итоговый график $f(x) = ||x+1|-3|$. Для этого часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox (на интервале $(-4, 2)$), отражаем симметрично относительно оси Ox.

Полученный график имеет W-образную форму.

Теперь найдем точки минимума и максимума.

Точки минимума функции соответствуют ее нулям. Это точки $x=-4$ и $x=2$.

Точка локального максимума соответствует отраженной вершине, точке $(-1, 3)$. Таким образом, точка максимума — $x=-1$.

Ответ: Точки минимума: $x=-4$, $x=2$. Точка максимума: $x=-1$.

3) Для построения графика функции $f(x) = ||x+2|-4|$ выполним следующие шаги:

1. Построим график функции $y_1 = |x+2|$. Это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы влево по оси Ox. Вершина находится в точке $(-2, 0)$.

2. Построим график функции $y_2 = |x+2|-4$, сдвинув график $y_1$ на 4 единицы вниз по оси Oy. Вершина сместится в точку $(-2, -4)$. Найдем точки пересечения с осью Ox: $|x+2|-4 = 0 \implies |x+2| = 4$. Отсюда $x+2 = 4$ или $x+2 = -4$, что дает $x=2$ и $x=-6$.

3. Построим итоговый график $f(x) = ||x+2|-4|$. Для этого часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox (на интервале $(-6, 2)$), отражаем симметрично относительно оси Ox.

Полученный график имеет W-образную форму.

Теперь найдем точки минимума и максимума.

Точки минимума функции соответствуют ее нулям. Это точки $x=-6$ и $x=2$.

Точка локального максимума соответствует отраженной вершине, точке $(-2, 4)$. Таким образом, точка максимума — $x=-2$.

Ответ: Точки минимума: $x=-6$, $x=2$. Точка максимума: $x=-2$.

7.43. Постройте схематический график четной функции $y = f(x)$, которая имеет минимум в точке $x_1 = 2$ и максимум в точке $x_2 = 4$. Найдите число точек экстремумов этой функции.

Постройте схематический график четной функции y = f(x), которая имеет минимум в точке x₁ = 2 и максимум в точке x₂ = 4.

По определению, четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Важным свойством экстремумов четной функции является то, что если в точке $x_0 \neq 0$ функция имеет минимум или максимум, то в симметричной точке $-x_0$ она также будет иметь экстремум того же типа (минимум или максимум соответственно), причем значения функции в этих точках будут равны: $f(x_0) = f(-x_0)$.

Из условия задачи нам известно, что:

1. Функция имеет минимум в точке $x_1 = 2$. Из-за свойства четности следует, что она также должна иметь минимум в точке $x = -2$.

2. Функция имеет максимум в точке $x_2 = 4$. Следовательно, она также должна иметь максимум в точке $x = -4$.

Рассмотрим поведение функции на промежутке $(-2, 2)$. Поскольку в точках $x = -2$ и $x = 2$ находятся локальные минимумы, а график функции предполагается непрерывным, то между этими двумя минимумами должен находиться локальный максимум. В силу симметрии этот максимум должен достигаться на оси $Oy$, то есть в точке $x = 0$.

Таким образом, для построения схематического графика нужно изобразить кривую, которая:

- Симметрична относительно оси $Oy$.

- Имеет минимумы (впадины) в точках $x = -2$ и $x = 2$.

- Имеет максимумы (пики) в точках $x = -4$, $x = 0$ и $x = 4$.

Ниже представлен пример схематического графика, удовлетворяющего всем условиям.

Ответ: Схематический график представлен на рисунке выше. Он является четным, симметричным относительно оси $Oy$, и имеет минимумы в точках $x=\pm2$ и максимумы в точках $x=\pm4$ и $x=0$.

Найдите число точек экстремумов этой функции.

Точки экстремума — это точки, в которых функция достигает своего локального максимума или минимума. Проанализируем все точки экстремума данной функции.

1. По условию, в точке $x = 2$ находится минимум.

2. По условию, в точке $x = 4$ находится максимум.

3. Так как функция является четной ($f(-x) = f(x)$), ее график симметричен относительно оси $Oy$. Из этого следует, что если $x_0$ является точкой экстремума, то и $-x_0$ также является точкой экстремума того же типа (при $x_0 \neq 0$). Поэтому у функции также есть минимум в точке $x = -2$.

4. По той же причине у функции есть максимум в точке $x = -4$.

5. Как было показано в первой части, для непрерывной четной функции, имеющей минимумы в симметричных точках $-2$ и $2$, между ними обязательно должен быть экстремум в точке $x=0$. Это будет локальный максимум.

Таким образом, мы нашли все точки экстремума. Перечислим их абсциссы: $-4$ (максимум), $-2$ (минимум), $0$ (максимум), $2$ (минимум), $4$ (максимум).

Подсчитав общее количество таких точек, получаем 5.

Ответ: 5.

7.44. Постройте схематический график нечетной функции $y=f(x)$, которая имеет минимум в точке $x_1=1$ и максимум в точке $x_2=3$.

Найдите число точек экстремумов этой функции.

Постройте схематический график нечетной функции y=f(x), которая имеет минимум в точке x₁ = 1 и максимум в точке x₂ = 3.

По определению, нечетная функция $y=f(x)$ удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из ее области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат, точки $(0, 0)$. Если функция определена в точке $x=0$, то из свойства нечетности следует, что $f(0) = -f(0)$, откуда $f(0)=0$.

В условии задачи дано, что функция имеет:

• локальный минимум в точке $x_1 = 1$;
• локальный максимум в точке $x_2 = 3$.

Используем свойство симметрии нечетной функции для нахождения экстремумов при отрицательных значениях $x$.

Если в точке $x_0$ нечетная функция имеет локальный минимум, то в точке $-x_0$ она будет иметь локальный максимум. Это следует из того, что если $f(x) \ge f(x_0)$ в окрестности $x_0$, то $f(-x) = -f(x) \le -f(x_0) = f(-x_0)$ в окрестности $-x_0$.

Аналогично, если в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум, то в точке $-x_0$ она будет иметь локальный минимум.

Применяя эти правила к нашей задаче:

• Поскольку в точке $x_1 = 1$ находится минимум, то в точке $x = -1$ будет находиться максимум.
• Поскольку в точке $x_2 = 3$ находится максимум, то в точке $x = -3$ будет находиться минимум.

Таким образом, для построения схематического графика мы имеем следующую информацию о поведении функции:

• Точки минимума: $x = -3$ и $x = 1$.
• Точки максимума: $x = -1$ и $x = 3$.
• График проходит через начало координат $(0, 0)$.
• Функция возрастает на интервалах $(-3, -1)$ и $(1, 3)$.
• Функция убывает на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-1, 1)$ и $(3, \infty)$.

Схематический график функции, удовлетворяющий этим условиям, представлен ниже.

Ответ: Схематический график построен выше.

Найдите число точек экстремумов этой функции.

На основании анализа, проведенного выше, мы определили все точки экстремума функции. Исходно были даны две точки экстремума для $x > 0$:

• минимум в $x_1 = 1$;
• максимум в $x_2 = 3$.

Используя свойство нечетности функции $f(-x) = -f(x)$, мы нашли соответствующие точки экстремума для $x < 0$:

• максимум в $x = -1$;
• минимум в $x = -3$.

Точка $x=0$ не является точкой экстремума (в данном случае это точка перегиба). Таким образом, общее число точек экстремумов равно сумме найденных точек.

Всего у функции 4 точки экстремума: $x = -3, x = -1, x = 1, x = 3$.

Ответ: 4.

7.45. Найдите наибольший корень уравнения $ \frac{x + 11}{x} + \frac{11}{x^2} = -\frac{1}{x} $

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в знаменателях дробей стоит переменная $x$, она не может быть равна нулю. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Исходное уравнение: $\frac{x+11}{x} + \frac{11}{x^2} = -\frac{1}{x}$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$\frac{x+11}{x} + \frac{11}{x^2} + \frac{1}{x} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2$. Для этого домножим первую и третью дроби на $x$:

$\frac{x(x+11)}{x^2} + \frac{11}{x^2} + \frac{x}{x^2} = 0$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{x(x+11) + 11 + x}{x^2} = 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2 + 11x + 11 + x}{x^2} = 0$

$\frac{x^2 + 12x + 11}{x^2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие, что знаменатель не равен нулю ($x^2 \neq 0$), совпадает с нашим ОДЗ ($x \neq 0$). Следовательно, мы можем приравнять числитель к нулю:

$x^2 + 12x + 11 = 0$

Получили стандартное квадратное уравнение. Решим его. Удобно использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней $x_1+x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $p=12$, $q=11$.

Ищем два числа, сумма которых равна $-12$, а произведение равно $11$. Этими числами являются $-1$ и $-11$.

$x_1 = -1$

$x_2 = -11$

Проверим: $(-1) + (-11) = -12$ и $(-1) \cdot (-11) = 11$. Корни найдены верно.

Также можно найти корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-12 \pm 10}{2}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{-12 + 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-12 - 10}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Оба корня, $-1$ и $-11$, не равны нулю, значит, они удовлетворяют ОДЗ.

По условию задачи требуется найти наибольший корень. Сравниваем полученные корни:

$-1 > -11$

Следовательно, наибольший корень уравнения равен $-1$.

Ответ: -1.

7.46. Упростите выражение $(\frac{7-x}{5x+x^2} - \frac{x+6}{5x-x^2})(\frac{20x+23x^2-x^3}{23x-5} - x)$.

Чтобы упростить выражение, выполним действия по шагам: сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем перемножим полученные результаты.

1. Упростим выражение в первой скобке: $\left(\frac{7-x}{5x+x^2} - \frac{x+6}{5x-x^2}\right)$

Для начала разложим знаменатели на множители: $5x+x^2 = x(5+x)$ и $5x-x^2 = x(5-x)$.

Теперь выражение в скобках выглядит так: $\frac{7-x}{x(5+x)} - \frac{x+6}{x(5-x)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(5+x)(5-x)$, который также можно записать как $x(25-x^2)$:

$\frac{(7-x)(5-x)}{x(5+x)(5-x)} - \frac{(x+6)(5+x)}{x(5+x)(5-x)} = \frac{(7-x)(5-x) - (x+6)(5+x)}{x(25-x^2)}$.

Теперь раскроем скобки в числителе. Сначала первое произведение:

$(7-x)(5-x) = 35 - 7x - 5x + x^2 = x^2 - 12x + 35$.

Затем второе произведение:

$(x+6)(5+x) = 5x + x^2 + 30 + 6x = x^2 + 11x + 30$.

Подставим полученные многочлены в числитель и выполним вычитание:

$(x^2 - 12x + 35) - (x^2 + 11x + 30) = x^2 - 12x + 35 - x^2 - 11x - 30 = -23x + 5$.

Итак, выражение в первой скобке упрощается до $\frac{-23x + 5}{x(25-x^2)}$.

2. Упростим выражение во второй скобке: $\left(\frac{20x+23x^2-x^3}{23x-5} - x\right)$

Приведем к общему знаменателю $(23x-5)$:

$\frac{20x+23x^2-x^3 - x(23x-5)}{23x-5}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$20x+23x^2-x^3 - (23x^2 - 5x) = 20x+23x^2-x^3 - 23x^2 + 5x = (20x+5x) + (23x^2-23x^2) - x^3 = 25x - x^3$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки в полученном числителе: $x(25-x^2)$.

Итак, выражение во второй скобке равно $\frac{x(25-x^2)}{23x-5}$.

3. Перемножим полученные выражения

Теперь необходимо умножить результат первого действия на результат второго:

$\left(\frac{-23x + 5}{x(25-x^2)}\right) \cdot \left(\frac{x(25-x^2)}{23x-5}\right)$.

В числителе первой дроби вынесем знак минус за скобку: $-23x+5 = -(23x-5)$.

Тогда произведение примет вид:

$\frac{-(23x-5)}{x(25-x^2)} \cdot \frac{x(25-x^2)}{23x-5}$.

Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(23x-5)$ и $x(25-x^2)$.

$\frac{-1 \cdot \cancel{(23x-5)}}{\cancel{x(25-x^2)}} \cdot \frac{\cancel{x(25-x^2)}}{\cancel{(23x-5)}} = -1$.

Упрощение верно при условии, что $x \neq 0$, $x \neq \pm 5$, $x \neq \frac{5}{23}$, чтобы знаменатели не обращались в ноль.

Ответ: $-1$.

7.47. Найдите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих неравен-ству $\frac{20 + x - x^2}{-40 + 13x - x^2} \le 0$.

Для решения данного дробно-рационального неравенства используем метод интервалов.

Исходное неравенство:$ \frac{20 + x - x^2}{-40 + 13x - x^2} \le 0 $

1. Найдем нули числителя.$ 20 + x - x^2 = 0 $Умножим на -1 для удобства:$ x^2 - x - 20 = 0 $По теореме Виета, корни уравнения:$ x_1 = 5 $$ x_2 = -4 $Таким образом, числитель можно разложить на множители: $-(x-5)(x+4)$.

2. Найдем нули знаменателя. Эти значения $x$ не будут входить в область допустимых значений (ОДЗ).$ -40 + 13x - x^2 = 0 $Умножим на -1:$ x^2 - 13x + 40 = 0 $По теореме Виета, корни уравнения:$ x_3 = 5 $$ x_4 = 8 $Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $-(x-5)(x-8)$.ОДЗ: $ x \neq 5 $ и $ x \neq 8 $.

3. Перепишем неравенство в разложенном на множители виде:$ \frac{-(x-5)(x+4)}{-(x-5)(x-8)} \le 0 $

Сократим отрицательные знаки и общий множитель $(x-5)$, не забывая про ОДЗ ($x \neq 5$):$ \frac{x+4}{x-8} \le 0 $

4. Решим полученное неравенство методом интервалов.На числовой оси отметим нули числителя и знаменателя. Ноль числителя $x=-4$ будет закрашенной точкой (так как неравенство нестрогое), а ноль знаменателя $x=8$ — выколотой точкой (так как на ноль делить нельзя).

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4]$, $[-4; 8)$ и $(8; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{x+4}{x-8}$ в каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; -4]$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+4}{-5-8} = \frac{-1}{-13} > 0$. Знак "+".
• При $x \in [-4; 8)$ (например, $x=0$): $\frac{0+4}{0-8} = \frac{4}{-8} < 0$. Знак "−".
• При $x \in (8; +\infty)$ (например, $x=9$): $\frac{9+4}{9-8} = \frac{13}{1} > 0$. Знак "+".

Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $x \in [-4; 8)$.

5. Учтем ОДЗ, согласно которому $x \neq 5$. Исключим это значение из полученного интервала.Итоговое решение неравенства: $x \in [-4; 5) \cup (5; 8)$.

6. Найдем все целые числа, удовлетворяющие этому решению:-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7.

7. Вычислим сумму этих целых чисел:$ S = (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 $Сумма чисел от -4 до 4 равна 0.$ S = 0 + 6 + 7 = 13 $

Ответ: 13

7.48. Найдите значение тригонометрического выражения:

1) $\cos 60^\circ - \sin 225^\circ + \tan 150^\circ - \cos^2 300^\circ$;

2) $\sin^2 160^\circ + \cos^2 160^\circ - \sin 135^\circ + \tan 240^\circ - \sin^2 300^\circ$.

1) Для нахождения значения выражения $\cos60^\circ - \sin225^\circ + \text{tg}150^\circ - \cos^3300^\circ$ вычислим значение каждого члена по отдельности, используя формулы приведения и табличные значения тригонометрических функций.

- $\cos60^\circ$ — это табличное значение: $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$.

- Для $\sin225^\circ$ используем формулу приведения. Угол $225^\circ$ находится в III четверти, где синус отрицателен.

$\sin225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

- Для $\text{tg}150^\circ$ используем формулу приведения. Угол $150^\circ$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен.

$\text{tg}150^\circ = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

- Для $\cos^3300^\circ$ сначала найдем $\cos300^\circ$. Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, где косинус положителен.

$\cos300^\circ = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos60^\circ = \frac{1}{2}$.

Теперь возводим значение в куб: $\cos^3300^\circ = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$\cos60^\circ - \sin225^\circ + \text{tg}150^\circ - \cos^3300^\circ = \frac{1}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{3}) - \frac{1}{8}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{8} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = (\frac{4}{8} - \frac{1}{8}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{3}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

2) Для нахождения значения выражения $\sin^2160^\circ + \cos^2160^\circ - \sin135^\circ + \text{tg}240^\circ - \sin^2300^\circ$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулами приведения.

- Первые два члена представляют собой основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Следовательно, $\sin^2160^\circ + \cos^2160^\circ = 1$.

Выражение упрощается до: $1 - \sin135^\circ + \text{tg}240^\circ - \sin^2300^\circ$.

Теперь вычислим значения оставшихся членов:

- Для $\sin135^\circ$ используем формулу приведения. Угол $135^\circ$ находится во II четверти, где синус положителен.

$\sin135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

- Для $\text{tg}240^\circ$ используем формулу приведения. Угол $240^\circ$ находится в III четверти, где тангенс положителен.

$\text{tg}240^\circ = \text{tg}(180^\circ + 60^\circ) = \text{tg}60^\circ = \sqrt{3}$.

- Для $\sin^2300^\circ$ сначала найдем $\sin300^\circ$. Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, где синус отрицателен.

$\sin300^\circ = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь возводим значение в квадрат: $\sin^2300^\circ = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставим найденные значения в упрощенное выражение:

$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \frac{3}{4}$

Сгруппируем и упростим рациональные члены:

$(1 - \frac{3}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}$

7.49. Найдите множество значений функции:

1) $y = 2x^2 - 4|x|;$

2) $y = x^2 - 3|x|;$

3) $y = 2x^2 - |x| + 2.$

1) Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 4|x|$.

Так как $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать функцию как $y = 2|x|^2 - 4|x|$.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = 2(-x)^2 - 4|-x| = 2x^2 - 4|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Чтобы найти множество значений, введем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$.

Получаем новую функцию $y(t) = 2t^2 - 4t$, которую нужно исследовать на множестве $t \in [0, +\infty)$. Множество значений исходной функции $y(x)$ совпадает с множеством значений функции $y(t)$, так как область значений $|x|$ для $x \in (-\infty, +\infty)$ есть $[0, +\infty)$.

Графиком функции $y(t)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $t^2$ положителен ($a=2 > 0$).

Наименьшее значение такая парабола принимает в своей вершине. Найдем координаты вершины.

Абсцисса вершины параболы $y = at^2+bt+c$ находится по формуле $t_0 = -b / (2a)$.

В нашем случае $a=2$, $b=-4$.

$t_0 = -(-4) / (2 \cdot 2) = 4 / 4 = 1$.

Так как $t_0 = 1$ принадлежит области определения $t \ge 0$, то наименьшее значение функции $y(t)$ достигается именно в этой точке.

Найдем это значение, подставив $t_0=1$ в функцию:

$y_{min} = y(1) = 2(1)^2 - 4(1) = 2 - 4 = -2$.

Поскольку ветви параболы уходят в бесконечность, а наименьшее значение равно -2, множество значений функции $y(t)$ на промежутке $t \ge 0$ есть $[-2, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [-2; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^2 - 3|x|$.

Данная функция является четной. Используя свойство $x^2 = |x|^2$, сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Функция примет вид $y(t) = t^2 - 3t$ при $t \ge 0$.

Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем вершину параболы: $t_0 = -b / (2a) = -(-3) / (2 \cdot 1) = 3/2 = 1.5$.

Значение $t_0 = 1.5$ входит в область $t \ge 0$.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает в вершине.

$y_{min} = y(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$.

В виде обыкновенной дроби: $y_{min} = (3/2)^2 - 3(3/2) = 9/4 - 9/2 = 9/4 - 18/4 = -9/4$.

Так как ветви параболы направлены вверх, множество значений функции — это луч, начинающийся с минимального значения.

Ответ: $E(y) = [-2.25; +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - |x| + 2$.

Функция четная. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Получаем функцию $y(t) = 2t^2 - t + 2$ при $t \ge 0$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=2 > 0$).

Найдем абсциссу вершины: $t_0 = -b / (2a) = -(-1) / (2 \cdot 2) = 1/4$.

Значение $t_0 = 1/4$ принадлежит области $t \ge 0$.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает в вершине.

Найдем это значение:

$y_{min} = y(1/4) = 2(1/4)^2 - (1/4) + 2 = 2(1/16) - 1/4 + 2 = 1/8 - 2/8 + 16/8 = 15/8$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, множество значений функции начинается с $y_{min}$ и уходит в бесконечность.

Ответ: $E(y) = [15/8; +\infty)$.