Страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Что является графиком функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ при $c = 0$?

2. Что является графиком функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ при $ad = bc$?

3. Как вы думаете, почему в определении дробно-линейной функции исключили случаи $c = 0$ и $ad = bc$?

Рис. 8.1

1. Что является графиком функции y = (ax + b)/(cx + d) при c = 0?

Если в уравнении дробно-линейной функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ коэффициент $c$ равен нулю, то функция принимает следующий вид:

$y = \frac{ax+b}{0 \cdot x + d} = \frac{ax+b}{d}$

При этом, для существования функции, знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $d \neq 0$.

Полученное выражение можно переписать как:

$y = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d}$

Это уравнение вида $y = kx + m$, где $k = \frac{a}{d}$ и $m = \frac{b}{d}$. Такое уравнение является уравнением прямой. Если $a=0$, то функция вырождается в константу $y = \frac{b}{d}$, что является частным случаем прямой (горизонтальная прямая).

Ответ: Графиком функции является прямая линия.

2. Что является графиком функции y = (ax + b)/(cx + d) при ad = bc?

Рассмотрим условие $ad = bc$. Мы предполагаем, что $c \neq 0$, иначе это будет случай из первого пункта. Так как $c \neq 0$, мы можем выразить $b$ из этого равенства: $b = \frac{ad}{c}$.

Подставим это выражение для $b$ в исходную функцию:

$y = \frac{ax + \frac{ad}{c}}{cx+d}$

Вынесем общий множитель $\frac{a}{c}$ в числителе:

$y = \frac{\frac{a}{c}(cx + d)}{cx+d}$

Теперь, если $cx+d \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{d}{c}$, мы можем сократить дробь:

$y = \frac{a}{c}$

Таким образом, функция является постоянной ($y = const$) для всех значений $x$ из области определения. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = -\frac{d}{c}$. В этой точке функция не определена (так называемая выколотая точка или точка разрыва).

Ответ: Графиком является горизонтальная прямая $y = \frac{a}{c}$ с выколотой точкой при $x = -\frac{d}{c}$.

3. Как вы думаете, почему в определении дробно-линейной функции исключили случаи c = 0 и ad = bc?

Случаи $c=0$ и $ad=bc$ исключают из определения дробно-линейной функции, потому что при этих условиях функция вырождается и перестает быть "дробной" в полноценном смысле, теряя свои характерные свойства.

1. При $c=0$ функция, как показано в первом пункте, превращается в обычную линейную функцию $y = kx+m$. Ее график — прямая, а не гипербола, которая является типичным графиком для дробно-линейной функции.

2. При $ad=bc$ (и $c \neq 0$) функция, как показано во втором пункте, становится постоянной $y=const$ на всей области определения. Ее график — это прямая с одной выколотой точкой. Это также не является гиперболой.

Определение дробно-линейной функции вводится для описания класса функций, графиком которых является гипербола со смещенными вертикальной и горизонтальной асимптотами. Условия $c \neq 0$ и $ad \neq bc$ как раз и гарантируют, что функция не упрощается до линейной или постоянной, а сохраняет свою "двухветвевую" гиперболическую природу.

Ответ: Эти случаи исключают, так как при них функция вырождается (упрощается) в линейную или постоянную функцию, а ее график перестает быть гиперболой, которая является характерным графиком для дробно-линейных функций.