Страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

8.14.1) $y = \left|\frac{1-2x}{2x-2}\right|$;

2) $y = \left|\frac{4x+1}{1-2x}\right|$;

3) $y = \left|\frac{3-4x}{2x+1}\right|$;

4) $y = \left|\frac{2x-5}{3-2x}\right|$.

1)Чтобы найти область значений функции $y=|\frac{1-2x}{2x-2}|$, сначала определим область значений выражения под модулем, то есть функции $f(x) = \frac{1-2x}{2x-2}$.Эта функция является дробно-линейной. Ее область определения $D(f)$ — это все действительные числа, для которых знаменатель не равен нулю: $2x-2 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.Для нахождения области значений $E(f)$ выразим $x$ через $y_f$, где $y_f = f(x)$:$y_f = \frac{1-2x}{2x-2}$$y_f(2x-2) = 1-2x$$2xy_f - 2y_f = 1-2x$$2xy_f + 2x = 1+2y_f$$x(2y_f+2) = 1+2y_f$$x = \frac{1+2y_f}{2y_f+2}$Данное выражение для $x$ определено при любом значении $y_f$, кроме того, при котором знаменатель обращается в ноль: $2y_f+2 \neq 0$, то есть $y_f \neq -1$.Следовательно, область значений функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел, кроме $-1$, то есть $E(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.Исходная функция $y = |f(x)|$. Поскольку $f(x)$ может принимать любые значения, кроме $-1$, $y$ будет принимать значения $|f(x)|$.Так как $y$ — это модуль числа, $y \ge 0$. Проверим, может ли $y$ принять любое неотрицательное значение $k$.Для этого уравнение $|f(x)|=k$ должно иметь решение. Это равносильно совокупности уравнений:$f(x) = k$ или $f(x) = -k$.Решение существует, если хотя бы одно из чисел $k$ или $-k$ принадлежит области значений $f(x)$, то есть множеству $(-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.Для любого $k \ge 0$, утверждение $k \neq -1$ всегда истинно. Следовательно, уравнение $f(x)=k$ всегда имеет решение.Таким образом, $y$ может принять любое значение $k \ge 0$.

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

2)Рассмотрим функцию $y=|\frac{4x+1}{1-2x}|$. Найдем область значений $E(y)$.Поскольку $y$ — это значение модуля, $y \ge 0$.Рассмотрим внутреннюю функцию $g(x) = \frac{4x+1}{1-2x}$. Ее область определения: $1-2x \neq 0$, то есть $x \neq 0.5$.Найдем область значений $E(g)$. Пусть $z = g(x)$. Выразим $x$ через $z$:$z = \frac{4x+1}{1-2x}$$z(1-2x) = 4x+1$$z - 2zx = 4x+1$$z-1 = 4x+2zx$$z-1 = x(4+2z)$$x = \frac{z-1}{4+2z}$Знаменатель не должен быть равен нулю: $4+2z \neq 0$, откуда $z \neq -2$.Значит, область значений $g(x)$ есть $E(g) = (-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$.Область значений исходной функции $y=|g(x)|$ — это множество $\{|z| \mid z \in E(g)\}$.Для любого неотрицательного числа $k$, уравнение $|g(x)|=k$ будет иметь решение, если $g(x)=k$ или $g(x)=-k$ имеет решение.Это возможно, если $k \in E(g)$ или $-k \in E(g)$.То есть, если $k \neq -2$ или $-k \neq -2$.Для любого $k \ge 0$ условие $k \neq -2$ всегда истинно.Следовательно, $y$ может принимать любое неотрицательное значение.

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

3)Рассмотрим функцию $y=|\frac{3-4x}{2x+1}|$. Найдем ее область значений.Так как $y$ является модулем, $y \ge 0$.Рассмотрим функцию под знаком модуля $h(x) = \frac{3-4x}{2x+1}$. Область определения: $2x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -0.5$.Найдем область значений $E(h)$. Пусть $z = h(x)$. Выразим $x$ через $z$:$z = \frac{3-4x}{2x+1}$$z(2x+1) = 3-4x$$2zx + z = 3-4x$$2zx + 4x = 3-z$$x(2z+4) = 3-z$$x = \frac{3-z}{2z+4}$Знаменатель не должен быть равен нулю: $2z+4 \neq 0$, откуда $z \neq -2$.Область значений $h(x)$ есть $E(h) = (-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$.Область значений $y=|h(x)|$ — это множество $\{|z| \mid z \in E(h)\}$.Для любого $k \ge 0$ рассмотрим уравнение $|h(x)|=k$. Оно равносильно совокупности $h(x)=k$ или $h(x)=-k$.Решение существует, если $k \in E(h)$ или $-k \in E(h)$, то есть $k \neq -2$ или $-k \neq -2$.Поскольку $k \ge 0$, то $k \neq -2$ всегда верно.Это значит, что $y$ может принимать любое неотрицательное значение.

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

4)Рассмотрим функцию $y=|\frac{2x-5}{3-2x}|$. Найдем ее область значений.Значения функции $y$ неотрицательны, то есть $y \ge 0$.Рассмотрим внутреннюю функцию $k(x) = \frac{2x-5}{3-2x}$. Область определения: $3-2x \neq 0$, то есть $x \neq 1.5$.Найдем область значений $E(k)$. Пусть $z = k(x)$. Выразим $x$ через $z$:$z = \frac{2x-5}{3-2x}$$z(3-2x) = 2x-5$$3z - 2zx = 2x-5$$3z+5 = 2x+2zx$$3z+5 = x(2+2z)$$x = \frac{3z+5}{2z+2}$Знаменатель не должен быть равен нулю: $2z+2 \neq 0$, откуда $z \neq -1$.Область значений $k(x)$ есть $E(k) = (-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.Область значений $y=|k(x)|$ — это множество $\{|z| \mid z \in E(k)\}$.Для любого $k \ge 0$, уравнение $|k(x)|=k$ равносильно $k(x)=k$ или $k(x)=-k$.Решение существует, если $k \in E(k)$ или $-k \in E(k)$, то есть $k \neq -1$ или $-k \neq -1$.Для любого $k \ge 0$, условие $k \neq -1$ всегда истинно.Следовательно, $y$ может принимать любое неотрицательное значение.

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

8.15. Упростите выражение:

1) $2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)-\sqrt{3}\sin\alpha$;

2) $\frac{1}{2}\cos\alpha-\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$;

3) $\sqrt{2}\sin\alpha-2\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$;

4) $\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.

1) Для упрощения выражения $2\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)-\sqrt{3}\sin\alpha$ воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

Раскроем скобки в члене $2\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)$:

$\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$2\left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha = (2 \cdot \frac{1}{2}\cos\alpha + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

2) Для упрощения выражения $\frac{1}{2}\cos\alpha - \cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)$ воспользуемся формулой косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

Раскроем $\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)$:

$\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha$.

Зная, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{1}{2}\cos\alpha - \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt{2}\sin\alpha - 2\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})$ воспользуемся формулой синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.

Раскроем $\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})$:

$\sin(\alpha-\frac{\pi}{4}) = \sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sin(\alpha-\frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{2}\sin\alpha - 2\left(\sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\sin\alpha - (2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha) = \sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha + \sqrt{2}\cos\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$.

Ответ: $\sqrt{2}\cos\alpha$.

4) Для упрощения выражения $\cos(\alpha-\frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$ воспользуемся формулой косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

Раскроем $\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})$:

$\cos(\alpha-\frac{\pi}{6}) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \sin\alpha\sin\frac{\pi}{6}$.

Зная, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, получаем:

$\cos(\alpha-\frac{\pi}{6}) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\left(\cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sin\alpha$.

8.16. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\cos^2 \frac{3\pi}{8}}{1 - \sin^2 \frac{3\pi}{8}};$

2) $\frac{6\operatorname{tg} \frac{\pi}{12}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{12}} - 1;$

3) $4\sin15^\circ \cos15^\circ;$

4) $8\sin15^\circ \cos15^\circ \cos30^\circ;$

5) $\cos^2 15^\circ - \cos^2 75^\circ;$

6) $\sin^2 15^\circ - \sin^2 75^\circ.$

1) Для решения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Подставим это в знаменатель нашего выражения:

$\frac{\cos^2\frac{3\pi}{8}}{1-\sin^2\frac{3\pi}{8}} = \frac{\cos^2\frac{3\pi}{8}}{\cos^2\frac{3\pi}{8}}$.

Так как $\cos\frac{3\pi}{8} \neq 0$, мы можем сократить дробь.

$\frac{\cos^2\frac{3\pi}{8}}{\cos^2\frac{3\pi}{8}} = 1$.

Ответ: 1

2) Воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$.

Преобразуем первую часть выражения:

$\frac{6\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}{1-\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{12}} = 3 \cdot \frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}{1-\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{12}} = 3\operatorname{tg}(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = 3\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$.

Значение тангенса $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$3\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Теперь вычтем 1, как указано в исходном выражении:

$\sqrt{3} - 1$.

Ответ: $\sqrt{3}-1$

3) Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Преобразуем данное выражение:

$4\sin15^\circ\cos15^\circ = 2 \cdot (2\sin15^\circ\cos15^\circ)$.

Применяя формулу, получаем:

$2 \cdot \sin(2 \cdot 15^\circ) = 2\sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$.

$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: 1

4) Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ дважды.

Сначала преобразуем часть выражения:

$8\sin15^\circ\cos15^\circ\cos30^\circ = 4 \cdot (2\sin15^\circ\cos15^\circ) \cdot \cos30^\circ = 4\sin(2 \cdot 15^\circ)\cos30^\circ = 4\sin30^\circ\cos30^\circ$.

Теперь снова применим формулу двойного угла:

$4\sin30^\circ\cos30^\circ = 2 \cdot (2\sin30^\circ\cos30^\circ) = 2\sin(2 \cdot 30^\circ) = 2\sin60^\circ$.

Значение $\sin60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

5) Воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Представим $\cos75^\circ$ как $\cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin15^\circ$.

Тогда выражение $\cos^215^\circ - \cos^275^\circ$ превращается в $\cos^215^\circ - \sin^215^\circ$.

Это формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применяя ее, получаем:

$\cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$.

Значение $\cos(30^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

6) Воспользуемся формулой приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.

Представим $\sin75^\circ$ как $\sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos15^\circ$.

Тогда выражение $\sin^215^\circ - \sin^275^\circ$ превращается в $\sin^215^\circ - \cos^215^\circ$.

Вынесем минус за скобки: $-(\cos^215^\circ - \sin^215^\circ)$.

В скобках находится формула косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применяя ее, получаем:

$-\cos(2 \cdot 15^\circ) = -\cos(30^\circ)$.

Значение $\cos(30^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, результат равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

42.6. Используя формулу $\sqrt{1+\Delta x} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \Delta x$ для функции $f(x)=\sqrt{x}$,

вычислите приближенное значение выражения:

1) $\sqrt{0,98}$;

2) $\sqrt{0,996}$;

3) $\sqrt{4,06}$;

4) $\sqrt{122}$;

5) $\sqrt{224}$.

Для решения задачи используется формула приближенного вычисления $\sqrt{1+\Delta x} \approx 1+\frac{1}{2} \cdot \Delta x$. Эта формула является частным случаем линейного приближения функции $f(x) = \sqrt{x}$ в точке $x_0=1$ и эффективна, когда $\Delta x$ мало.

Для вычисления корня из числа $N$, которое не близко к 1, мы представляем $N$ в виде $N = a^2 + \Delta N$, где $a^2$ - ближайший к $N$ точный квадрат. Тогда выражение под корнем можно преобразовать:

$\sqrt{N} = \sqrt{a^2 + \Delta N} = \sqrt{a^2 \left(1 + \frac{\Delta N}{a^2}\right)} = a \sqrt{1 + \frac{\Delta N}{a^2}}$

Теперь можно применить исходную формулу, где в качестве $\Delta x$ выступает $\frac{\Delta N}{a^2}$:

$\sqrt{N} \approx a \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\Delta N}{a^2}\right) = a + \frac{\Delta N}{2a}$.

Этот подход будет использован для решения всех пунктов.

1) Вычислим $\sqrt{0,98}$.

Представим подкоренное выражение в виде $1+\Delta x$: $0,98 = 1 - 0,02 = 1 + (-0,02)$.

В данном случае $\Delta x = -0,02$.

Применяем формулу: $\sqrt{0,98} = \sqrt{1+(-0,02)} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot (-0,02) = 1 - 0,01 = 0,99$.

Ответ: $0,99$.

2) Вычислим $\sqrt{0,996}$.

Представим подкоренное выражение в виде $1+\Delta x$: $0,996 = 1 - 0,004 = 1 + (-0,004)$.

Здесь $\Delta x = -0,004$.

Применяем формулу: $\sqrt{0,996} = \sqrt{1+(-0,004)} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot (-0,004) = 1 - 0,002 = 0,998$.

Ответ: $0,998$.

3) Вычислим $\sqrt{4,06}$.

Ближайший к $4,06$ точный квадрат - это $4=2^2$. Представим $4,06$ как $4 + 0,06$.

$\sqrt{4,06} = \sqrt{4 + 0,06} = \sqrt{4\left(1 + \frac{0,06}{4}\right)} = 2\sqrt{1 + 0,015}$.

Применяем формулу для $\sqrt{1 + 0,015}$, где $\Delta x = 0,015$.

$\sqrt{4,06} \approx 2 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot 0,015\right) = 2 \cdot (1 + 0,0075) = 2 \cdot 1,0075 = 2,015$.

Ответ: $2,015$.

4) Вычислим $\sqrt{122}$.

Ближайший к $122$ точный квадрат - это $121=11^2$. Представим $122$ как $121 + 1$.

$\sqrt{122} = \sqrt{121 + 1} = \sqrt{121\left(1 + \frac{1}{121}\right)} = 11\sqrt{1 + \frac{1}{121}}$.

Применяем формулу, где $\Delta x = \frac{1}{121}$.

$\sqrt{122} \approx 11 \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{121}\right) = 11 \left(1 + \frac{1}{242}\right) = 11 + \frac{11}{242} = 11 + \frac{1}{22}$.

Переведем дробь в десятичную форму: $\frac{1}{22} \approx 0,045$. Тогда $\sqrt{122} \approx 11 + 0,045 = 11,045$.

Ответ: $\approx 11,045$.

5) Вычислим $\sqrt{224}$.

Ближайший к $224$ точный квадрат - это $225=15^2$. Представим $224$ как $225 - 1$.

$\sqrt{224} = \sqrt{225 - 1} = \sqrt{225\left(1 - \frac{1}{225}\right)} = 15\sqrt{1 - \frac{1}{225}}$.

Применяем формулу, где $\Delta x = -\frac{1}{225}$.

$\sqrt{224} \approx 15 \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{225}\right)\right) = 15 \left(1 - \frac{1}{450}\right) = 15 - \frac{15}{450} = 15 - \frac{1}{30}$.

Переведем дробь в десятичную форму: $\frac{1}{30} \approx 0,033$. Тогда $\sqrt{224} \approx 15 - 0,033 = 14,967$.

Ответ: $\approx 14,967$.

42.7. Докажите, что функция не дифференцируема в указанных точках:

1) $y = 3x - |x - 2|$ при $x_0 = 2;$

2) $y = |x^3 - 8x^2|$ при $x_1 = 1, x_2 = 2;$

3) $y = \sqrt{x^2}$ при $x_0 = 0;$

4) $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2 - x & \text{при } x > 1, \end{cases}$ при $x_0 = 1.$

1) Для того чтобы доказать, что функция $y = 3x - |x - 2|$ не является дифференцируемой в точке $x_0 = 2$, найдем односторонние производные в этой точке.

Сначала раскроем модуль:

$y(x) = \begin{cases} 3x - (-(x-2)), & \text{если } x < 2 \\ 3x - (x-2), & \text{если } x \ge 2 \end{cases} = \begin{cases} 3x + x - 2, & \text{если } x < 2 \\ 3x - x + 2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} = \begin{cases} 4x - 2, & \text{если } x < 2 \\ 2x + 2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Функция непрерывна в точке $x_0=2$, так как $\lim_{x \to 2^-} (4x-2) = 6$, $\lim_{x \to 2^+} (2x+2) = 6$ и $y(2) = 2(2)+2 = 6$.

Найдем левую производную в точке $x_0=2$:

$y'_{-}(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{y(x) - y(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(4x-2) - 6}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{4x-8}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{4(x-2)}{x-2} = 4$.

Найдем правую производную в точке $x_0=2$:

$y'_{+}(2) = \lim_{x \to 2^+} \frac{y(x) - y(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(2x+2) - 6}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x-4}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2(x-2)}{x-2} = 2$.

Поскольку левая и правая производные в точке $x_0=2$ не равны ($y'_{-}(2) = 4 \neq 2 = y'_{+}(2)$), функция не является дифференцируемой в этой точке.

Ответ: Левая производная равна 4, а правая равна 2. Так как они не равны, функция не дифференцируема в точке $x_0 = 2$.

2) Утверждение в задаче, по-видимому, содержит ошибку. Функция $y = |x^3 - 8x^2|$ является дифференцируемой в точках $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Продемонстрируем это.

Функция вида $|f(x)|$ дифференцируема во всех точках, где функция $f(x)$ дифференцируема и не равна нулю.

В нашем случае $f(x) = x^3 - 8x^2$. Эта функция является многочленом и дифференцируема на всей числовой оси.

Рассмотрим точку $x_1 = 1$:

$f(1) = 1^3 - 8(1^2) = 1 - 8 = -7$.

Поскольку $f(1) \neq 0$, функция $y=|f(x)|$ дифференцируема в точке $x_1 = 1$. В окрестности этой точки $f(x) < 0$, поэтому $y(x) = -(x^3 - 8x^2) = 8x^2 - x^3$.

Ее производная: $y'(x) = (8x^2 - x^3)' = 16x - 3x^2$.

В точке $x_1=1$ производная равна $y'(1) = 16(1) - 3(1^2) = 13$.

Рассмотрим точку $x_2 = 2$:

$f(2) = 2^3 - 8(2^2) = 8 - 32 = -24$.

Поскольку $f(2) \neq 0$, функция $y=|f(x)|$ дифференцируема в точке $x_2 = 2$. В окрестности этой точки $f(x) < 0$, поэтому $y(x) = 8x^2 - x^3$.

Ее производная: $y'(x) = 16x - 3x^2$.

В точке $x_2=2$ производная равна $y'(2) = 16(2) - 3(2^2) = 32 - 12 = 20$.

Таким образом, в указанных точках производные существуют и конечны.

Ответ: Вопреки условию, функция дифференцируема в точках $x_1=1$ и $x_2=2$, так как выражение под модулем в этих точках не равно нулю, а сама функция под модулем является дифференцируемой. Недифференцируемость для данной функции наблюдается в точке $x=8$.

3) Функция $y = \sqrt{x^2}$ тождественно равна $y = |x|$. Докажем, что она недифференцируема в точке $x_0=0$.

Представим функцию в кусочно-заданном виде:

$y(x) = |x| = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Функция непрерывна в точке $x_0=0$, так как $\lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$, $\lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ и $y(0) = 0$.

Найдем левую производную в точке $x_0=0$:

$y'_{-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{y(0+\Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.

Найдем правую производную в точке $x_0=0$:

$y'_{+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{y(0+\Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.

Поскольку левая и правая производные в точке $x_0=0$ не равны ($y'_{-}(0) = -1 \neq 1 = y'_{+}(0)$), функция не является дифференцируемой в этой точке.

Ответ: Левая производная равна -1, а правая равна 1. Так как они не равны, функция не дифференцируема в точке $x_0 = 0$.

4) Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x^2, & x \le 1 \\ 2-x, & x > 1 \end{cases}$. Докажем, что она недифференцируема в точке $x_0 = 1$.

Проверим непрерывность в точке $x_0=1$.

Значение функции: $y(1) = 1^2 = 1$.

Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$.

Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2-1=1$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции, она непрерывна в точке $x_0=1$.

Найдем левую производную (для $y=x^2$):

$y'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{y(x) - y(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2$.

Найдем правую производную (для $y=2-x$):

$y'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{y(x) - y(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(2-x) - 1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1-x}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{-(x-1)}{x-1} = -1$.

Поскольку левая и правая производные в точке $x_0=1$ не равны ($y'_{-}(1) = 2 \neq -1 = y'_{+}(1)$), функция не является дифференцируемой в этой точке.

Ответ: Левая производная равна 2, а правая равна -1. Так как они не равны, функция не дифференцируема в точке $x_0 = 1$.

42.8. Вычислите производную функции $f(x) = \frac{25x^2 - 5}{16x^2 - 4}$ при $x = 2.$

Дайте геометрическое и механическое истолкование полученного результата.

Для вычисления производной функции $f(x) = \frac{25x^2 - 5}{16x^2 - 4}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби):

$(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

В нашем случае, пусть $u(x) = 25x^2 - 5$ и $v(x) = 16x^2 - 4$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (25x^2 - 5)' = 25 \cdot 2x - 0 = 50x$

$v'(x) = (16x^2 - 4)' = 16 \cdot 2x - 0 = 32x$

Теперь подставим найденные выражения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(50x)(16x^2 - 4) - (25x^2 - 5)(32x)}{(16x^2 - 4)^2}$

Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки:

$50x(16x^2 - 4) - (25x^2 - 5)(32x) = (800x^3 - 200x) - (800x^3 - 160x) = 800x^3 - 200x - 800x^3 + 160x = -40x$

Таким образом, производная функции имеет вид:

$f'(x) = \frac{-40x}{(16x^2 - 4)^2}$

Вычислим значение производной при $x = 2$:

$f'(2) = \frac{-40 \cdot 2}{(16 \cdot 2^2 - 4)^2} = \frac{-80}{(16 \cdot 4 - 4)^2} = \frac{-80}{(64 - 4)^2} = \frac{-80}{60^2} = \frac{-80}{3600}$

Сократим полученную дробь:

$f'(2) = -\frac{80}{3600} = -\frac{8}{360} = -\frac{1}{45}$

Ответ: $-\frac{1}{45}$.

Дайте геометрическое и механическое истолкование полученного результата.

Геометрическое истолкование: значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Следовательно, $f'(2) = -\frac{1}{45}$ – это угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$. Так как значение производной отрицательно, функция в этой точке является убывающей, а касательная образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

Механическое истолкование: если функция $s(t) = f(t)$ описывает закон прямолинейного движения материальной точки, где $s$ – это путь (координата), а $t$ – время, то производная $s'(t) = f'(t)$ представляет собой мгновенную скорость движения этой точки в момент времени $t$. В нашем случае, $f'(2) = -\frac{1}{45}$ – это мгновенная скорость точки в момент времени $t=2$. Отрицательное значение скорости означает, что в данный момент точка движется в направлении, противоположном положительному направлению оси.

Ответ: Геометрически, число $-\frac{1}{45}$ является угловым коэффициентом касательной к графику функции в точке $x=2$. Механически, если $f(x)$ — это закон движения, то $-\frac{1}{45}$ — это мгновенная скорость тела в момент времени $x=2$.

42.9. 1) Покажите, что любая касательная к графику кривой $y = x^3 + 9x - 13$ составляет с осью $Ox$ острый угол.

2) Найдите угол, образованный с осью абсцисс касательной к графику функции $y = 0,5x^2$ в точке с абсциссой $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси Ox: $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Угол является острым, если он находится в диапазоне $(0^\circ, 90^\circ)$. Для таких углов их тангенс положителен: $\tan(\alpha) > 0$. Следовательно, чтобы доказать, что любая касательная к графику данной кривой составляет с осью Ox острый угол, необходимо показать, что производная функции всегда положительна.

Рассмотрим функцию $y = x^3 + 9x - 13$.

Найдем ее производную:

$y'(x) = (x^3 + 9x - 13)' = 3x^2 + 9$.

Теперь оценим знак производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Тогда $3x^2 \ge 0$. Прибавляя 9, получаем:

$y'(x) = 3x^2 + 9 \ge 9$.

Так как $y'(x) \ge 9$, производная всегда строго положительна. Следовательно, угловой коэффициент $k = y'(x)$ любой касательной к графику данной функции также всегда положителен. Это означает, что $\tan(\alpha) > 0$, а значит, угол $\alpha$ всегда острый. Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку производная функции $y'(x) = 3x^2 + 9$ положительна при любых $x$ (так как $3x^2 \ge 0$, то $3x^2+9 \ge 9$), то тангенс угла наклона касательной всегда положителен, что означает, что угол является острым.

2) Угол $\alpha$, образованный касательной к графику функции с осью абсцисс, можно найти, вычислив тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $\tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Дана функция $y = 0.5x^2$ и точка касания с абсциссой $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сначала найдем производную функции:

$y'(x) = (0.5x^2)' = 0.5 \cdot 2x = x$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем угол $\alpha$, зная его тангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из тригонометрии известно, что угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

42.10. Пользуясь графиком функции $y(x)$ (рис. 42.3), отметьте знаком + соответствующее значение ее производной в указанных точках (табл. 25).

Таблица 25

Для нахождения значения производной функции $y(x)$ в указанных точках воспользуемся ее геометрическим смыслом. Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Поскольку данный график состоит из отрезков прямых, то в любой внутренней точке такого отрезка касательная совпадает с самим отрезком. Таким образом, задача сводится к нахождению угловых коэффициентов соответствующих отрезков. Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

x = -4

Точка с абсциссой $x = -4$ находится на отрезке прямой, соединяющем точки с координатами $(-5, 2)$ и $(-3, 0)$. Найдем угловой коэффициент этой прямой: $y'(-4) = k = \frac{0 - 2}{-3 - (-5)} = \frac{-2}{-3 + 5} = \frac{-2}{2} = -1$. Значение производной в этой точке равно $-1$.

Ответ: $y' = -1$

x = -2

Точка с абсциссой $x = -2$ находится на отрезке прямой, соединяющем точки с координатами $(-3, 0)$ и $(1, 2)$. Найдем угловой коэффициент этой прямой: $y'(-2) = k = \frac{2 - 0}{1 - (-3)} = \frac{2}{1 + 3} = \frac{2}{4} = 0,5$. Значение производной в этой точке равно $0,5$.

Ответ: $y' = 0,5$

x = 0

Точка с абсциссой $x = 0$ находится на том же отрезке, что и точка $x = -2$, то есть на отрезке, соединяющем точки $(-3, 0)$ и $(1, 2)$. Угловой коэффициент для всех точек этого интервала одинаков. $y'(0) = k = \frac{2 - 0}{1 - (-3)} = \frac{2}{4} = 0,5$. Значение производной в этой точке равно $0,5$.

Ответ: $y' = 0,5$

x = 2

Точка с абсциссой $x = 2$ находится на горизонтальном отрезке прямой, который соединяет точки с координатами $(1, 2)$ и $(3, 2)$. Угловой коэффициент любой горизонтальной прямой равен нулю. $y'(2) = k = \frac{2 - 2}{3 - 1} = \frac{0}{2} = 0$. Значение производной в этой точке равно $0$.

Ответ: $y' = 0$

x = 4

Точка с абсциссой $x = 4$ находится на отрезке прямой, соединяющем точки с координатами $(3, 2)$ и $(5, 4)$. Найдем угловой коэффициент этой прямой: $y'(4) = k = \frac{4 - 2}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1$. Значение производной в этой точке равно $1$.

Ответ: $y' = 1$

42.11. Дан график движения материальной точки (рис. 42.4 ). Что происходит со скоростью движения точки в указанные промежутки времени (табл. 26)? (Вопрос относится не к модулю скорости, а к скорости как величине, имеющей знак).

Рис. 42.3

Рис. 42.4

Таблица 26

Интервалы времени: $0 < t < 2$, $2 < t < 4$, $4 < t < 6$, $6 < t < 8$, $8 < t < 10$

Категории изменения скорости:

Скорость равна нулю в течение всего промежутка времени

Скорость увеличивается

Скорость постоянна и равна нулю

Скорость уменьшается

Для анализа поведения скорости материальной точки по графику ее координаты от времени $y(t)$ необходимо исследовать наклон (тангенс угла наклона касательной) этого графика. Скорость $v(t)$ является производной от координаты по времени: $v(t) = y'(t)$.

• Если график идет вверх (функция $y(t)$ возрастает), скорость положительна ($v > 0$).
• Если график идет вниз (функция $y(t)$ убывает), скорость отрицательна ($v < 0$).
• Если график является вогнутым вверх (изгибается вверх, $y''(t) > 0$), то его наклон, а следовательно и скорость, увеличивается.
• Если график является вогнутым вниз (изгибается вниз, $y''(t) < 0$), то его наклон, а следовательно и скорость, уменьшается.

На всем рассматриваемом промежутке от $t=0$ до $t=10$ график $y(t)$ возрастает, следовательно, скорость точки положительна. Теперь проанализируем изменение скорости на каждом интервале.

Скорость равна нулю в течение всего промежутка времени

Скорость материальной точки равна нулю, когда ее положение со временем не меняется, то есть когда график зависимости координаты от времени $y(t)$ является горизонтальной линией. На данном графике (рис. 42.4) нет ни одного промежутка времени, где бы график был горизонтальным. Следовательно, ни в одном из указанных интервалов скорость не была равна нулю в течение всего промежутка. Ответ: таких промежутков нет.

Скорость увеличивается

Скорость точки увеличивается, когда наклон касательной к графику $y(t)$ растет. Это происходит на участках, где кривая графика является вогнутой вверх (ее изгиб направлен вверх). Анализируя график 42.4, мы видим, что кривая вогнута вверх на промежутке примерно от $t=0$ до $t=8$. Это означает, что в интервалах $0 < t < 2$, $2 < t < 4$, $4 < t < 6$ и $6 < t < 8$ скорость материальной точки увеличивалась. Ответ: $0 < t < 2$, $2 < t < 4$, $4 < t < 6$, $6 < t < 8$.

Скорость постоянна и равна нулю

Это условие, как и в первом пункте, требует, чтобы график был горизонтальной линией. Таких участков на графике нет. Ответ: таких промежутков нет.

Скорость уменьшается

Скорость точки уменьшается, когда наклон касательной к графику $y(t)$ убывает. Это соответствует участкам, где кривая графика является вогнутой вниз (ее изгиб направлен вниз). На графике 42.4 видно, что примерно после $t=8$ (точка перегиба) кривая становится вогнутой вниз. Таким образом, в промежутке времени $8 < t < 10$ наклон касательной уменьшается, что означает уменьшение скорости. Ответ: $8 < t < 10$.