Номер 42.9, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.9. 1) Покажите, что любая касательная к графику кривой $y = x^3 + 9x - 13$ составляет с осью $Ox$ острый угол.

2) Найдите угол, образованный с осью абсцисс касательной к графику функции $y = 0,5x^2$ в точке с абсциссой $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси Ox: $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Угол является острым, если он находится в диапазоне $(0^\circ, 90^\circ)$. Для таких углов их тангенс положителен: $\tan(\alpha) > 0$. Следовательно, чтобы доказать, что любая касательная к графику данной кривой составляет с осью Ox острый угол, необходимо показать, что производная функции всегда положительна.

Рассмотрим функцию $y = x^3 + 9x - 13$.

Найдем ее производную:

$y'(x) = (x^3 + 9x - 13)' = 3x^2 + 9$.

Теперь оценим знак производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Тогда $3x^2 \ge 0$. Прибавляя 9, получаем:

$y'(x) = 3x^2 + 9 \ge 9$.

Так как $y'(x) \ge 9$, производная всегда строго положительна. Следовательно, угловой коэффициент $k = y'(x)$ любой касательной к графику данной функции также всегда положителен. Это означает, что $\tan(\alpha) > 0$, а значит, угол $\alpha$ всегда острый. Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку производная функции $y'(x) = 3x^2 + 9$ положительна при любых $x$ (так как $3x^2 \ge 0$, то $3x^2+9 \ge 9$), то тангенс угла наклона касательной всегда положителен, что означает, что угол является острым.

2) Угол $\alpha$, образованный касательной к графику функции с осью абсцисс, можно найти, вычислив тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $\tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Дана функция $y = 0.5x^2$ и точка касания с абсциссой $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сначала найдем производную функции:

$y'(x) = (0.5x^2)' = 0.5 \cdot 2x = x$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем угол $\alpha$, зная его тангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из тригонометрии известно, что угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.