Номер 42.14, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.14. 1) В каких точках графика функции $y = x^3 + x - 3$ касательная к ней параллельна прямой, заданной уравнением $y - 4x - 2 = 0$?

2) Является ли прямая, заданная уравнением $y = 2x - 1$, касательной к графику функции $y = \sqrt{4x - 3}$? Если да, то укажите координаты точки касания.

1) Чтобы найти точки, в которых касательная к графику функции $y = x^3 + x - 3$ параллельна прямой $y - 4x - 2 = 0$, необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были равны.

Сначала определим угловой коэффициент данной прямой. Для этого приведем ее уравнение к виду $y = kx + b$:

$y = 4x + 2$

Угловой коэффициент этой прямой $k = 4$.

Далее найдем производную функции $y(x)$, так как ее значение в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной в этой точке:

$y'(x) = (x^3 + x - 3)' = 3x^2 + 1$

Теперь приравняем угловой коэффициент касательной $y'(x_0)$ к угловому коэффициенту прямой:

$3x_0^2 + 1 = 4$

Решим полученное уравнение, чтобы найти абсциссы точек касания:

$3x_0^2 = 3$

$x_0^2 = 1$

Отсюда получаем два значения: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Найдем соответствующие ординаты (y-координаты) этих точек, подставив значения $x_0$ в исходное уравнение функции $y = x^3 + x - 3$:

Если $x_0 = 1$, то $y_0 = (1)^3 + 1 - 3 = 1 + 1 - 3 = -1$. Первая точка: $(1, -1)$.

Если $x_0 = -1$, то $y_0 = (-1)^3 + (-1) - 3 = -1 - 1 - 3 = -5$. Вторая точка: $(-1, -5)$.

Ответ: $(1, -1)$ и $(-1, -5)$.

2) Чтобы определить, является ли прямая $y = 2x - 1$ касательной к графику функции $y = \sqrt{4x - 3}$, нужно проверить выполнение двух условий в предполагаемой точке касания $(x_0, y_0)$:

1. Угловой коэффициент прямой должен быть равен значению производной функции в точке $x_0$.

2. Координаты точки касания $(x_0, y_0)$ должны удовлетворять как уравнению функции, так и уравнению прямой.

Угловой коэффициент прямой $y = 2x - 1$ равен $k = 2$.

Найдем производную функции $y(x) = \sqrt{4x - 3}$:

$y'(x) = (\sqrt{4x - 3})' = \frac{1}{2\sqrt{4x - 3}} \cdot (4x-3)' = \frac{4}{2\sqrt{4x - 3}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 3}}$

Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу $x_0$ возможной точки касания:

$\frac{2}{\sqrt{4x_0 - 3}} = 2$

Разделим обе части на 2:

$\frac{1}{\sqrt{4x_0 - 3}} = 1$

$\sqrt{4x_0 - 3} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$4x_0 - 3 = 1$

$4x_0 = 4$

$x_0 = 1$

Теперь проверим второе условие. Найдем значение функции и прямой в точке $x_0 = 1$.

Значение функции: $y(1) = \sqrt{4(1) - 3} = \sqrt{1} = 1$.

Значение на прямой: $y = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$.

Так как значения совпали, точка $(1, 1)$ принадлежит и графику функции, и прямой. Оба условия выполнены.

Ответ: Да, является. Координаты точки касания: $(1, 1)$.