Страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Если функция задана табличным способом, то как по таблице можно установить, является функция возрастающей или убывающей или не является ни возрастающей, ни убывающей?

Для того чтобы по таблице определить характер монотонности функции (является ли она возрастающей, убывающей или ни той, ни другой), необходимо последовательно сравнить значения функции $y=f(x)$ при возрастании значений аргумента $x$. Важно убедиться, что значения аргумента $x$ в таблице упорядочены по возрастанию (от меньшего к большему). Если это не так, их следует мысленно или физически переупорядочить вместе с соответствующими им значениями функции.

Как определить, что функция возрастающая

Функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Применительно к таблице это означает, что при движении по строке (или столбцу) со значениями аргумента $x$ от меньшего к большему, соответствующие значения функции $y$ также должны строго увеличиваться. То есть, каждому большему значению $x$ соответствует большее значение $y$. Если эта тенденция сохраняется для всех пар точек в таблице, то можно сделать вывод, что на данном наборе точек функция является возрастающей.

Ответ: Если при увеличении значений аргумента $x$ в таблице соответствующие значения функции $y$ также всё время увеличиваются, то функция является возрастающей (на заданном множестве точек).

Как определить, что функция убывающая

Функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

В таблице это проявляется так: при движении по упорядоченным по возрастанию значениям аргумента $x$, соответствующие значения функции $y$ должны строго уменьшаться. Каждому большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$. Если такая тенденция наблюдается для всех пар точек, то на заданном наборе функция убывающая.

Ответ: Если при увеличении значений аргумента $x$ в таблице соответствующие значения функции $y$ всё время уменьшаются, то функция является убывающей (на заданном множестве точек).

Как определить, что функция не является ни возрастающей, ни убывающей

Если при анализе таблицы вы обнаруживаете, что на одном промежутке между точками значения функции увеличиваются, а на другом — уменьшаются (или наоборот), то такая функция не является монотонной, то есть ни возрастающей, ни убывающей на всем заданном множестве точек.

Это означает, что найдутся такие значения $x_1 < x_2 < x_3$, для которых, например, выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, но при этом $f(x_2) > f(x_3)$. Нарушение единой тенденции (только роста или только убывания) говорит об отсутствии монотонности.

Ответ: Если при увеличении значений аргумента $x$ в таблице значения функции $y$ то увеличиваются, то уменьшаются, то функция не является ни возрастающей, ни убывающей.

ОБЪЯСНИТЕ

1) Как расположен график ограниченной (ограниченной снизу; ограниченной сверху) функции $y = f(x)$ относительно некоторой прямой, параллельной оси $Ox$?

Рис. 7.3

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Рис. 7.6

2) Какие из функций: $y = kx$, где $k \neq 0$; $y = x^2$; $y = -x^2$; $y = x^3$; $y = \sqrt{x}$; $y = |x|$ ограничены, ограничены снизу, ограничены сверху?

1) Понятие ограниченности функции связано с расположением ее графика относительно горизонтальных прямых (прямых, параллельных оси $Ox$, с уравнением вида $y=c$, где $c$ - константа).

Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех значений $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \le M$. Геометрически это означает, что весь график функции лежит ниже некоторой горизонтальной прямой $y=M$. Пример такой функции показан на Рис. 7.5.

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех значений $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Геометрически это означает, что весь график функции лежит выше некоторой горизонтальной прямой $y=m$. Пример такой функции показан на Рис. 7.6.

Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Геометрически это означает, что ее график целиком заключен в горизонтальной полосе между двумя прямыми $y=m$ и $y=M$. Пример такой функции показан на Рис. 7.3.

Если функция не ограничена ни сверху, ни снизу, она называется неограниченной. Пример графика такой функции показан на Рис. 7.4.

Ответ: График функции, ограниченной сверху, расположен полностью ниже некоторой прямой, параллельной оси $Ox$. График функции, ограниченной снизу, расположен полностью выше некоторой прямой, параллельной оси $Ox$. График ограниченной функции расположен полностью в полосе между двумя прямыми, параллельными оси $Ox$.

2) Проанализируем каждую из предложенных функций:

• Функция $y = kx$, где $k \neq 0$. Это линейная функция, ее область значений — все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, она не ограничена ни сверху, ни снизу.

• Функция $y = x^2$. Это парабола с ветвями вверх. Ее область значений — $[0; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, функция ограничена снизу (например, числом 0). Сверху функция не ограничена.

• Функция $y = -x^2$. Это парабола с ветвями вниз. Ее область значений — $(-\infty; 0]$. Поскольку $-x^2 \le 0$ для любого $x$, функция ограничена сверху (например, числом 0). Снизу функция не ограничена.

• Функция $y = x^3$. Это кубическая парабола. Ее область значений — $(-\infty; +\infty)$. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

• Функция $y = \sqrt{x}$. Область определения функции $x \ge 0$, а область значений — $[0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения, функция ограничена снизу. Сверху она не ограничена.

• Функция $y = |x|$. Область значений — $[0; +\infty)$. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого $x$, функция ограничена снизу. Сверху она не ограничена.

Ответ: Ограничены снизу: $y=x^2$, $y=\sqrt{x}$, $y=|x|$. Ограничена сверху: $y=-x^2$. Ограниченных (одновременно сверху и снизу) среди данных функций нет. Не ограничены ни сверху, ни снизу: $y=kx$ (при $k \neq 0$), $y=x^3$.

По графику функции (рис. 39.7–39.9) запишите формулы ее асимптот (39.4–39.6).

39.4.

1)

Асимптоты для графика 1): $x=2$ и $y=0$.

2)

Асимптоты для графика 2): $x=0$ и $y=2$.

Рис. 39.7

1) Асимптота — это прямая, к которой график функции неограниченно приближается. На графике 1) мы видим два вида асимптот: вертикальную и горизонтальную.

Вертикальная асимптота — это прямая вида $x = a$, к которой график функции стремится, когда $x$ стремится к $a$. Из графика видно, что при приближении $x$ к значению 2, значение функции $y$ уходит в бесконечность. Пунктирная линия, к которой приближается график, проходит через точку $x=2$ на оси абсцисс. Следовательно, уравнение вертикальной асимптоты: $x = 2$.

Горизонтальная асимптота — это прямая вида $y = b$, к которой график функции стремится, когда $x$ стремится к $+\infty$ или $-\infty$. Из графика видно, что когда $x \to +\infty$ и когда $x \to -\infty$, график функции приближается к горизонтальной прямой, проходящей через $y=1$ на оси ординат. Следовательно, уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 1$.

Ответ: $x = 2$, $y = 1$.

2) Рассмотрим график 2). На нем также видны вертикальная и горизонтальная асимптоты, которые показаны пунктирными линиями.

Вертикальная асимптота. На графике видно, что при приближении $x$ к значению -1, значение функции $y$ уходит в бесконечность. Вертикальная пунктирная линия проходит через точку $x=-1$. Следовательно, уравнение вертикальной асимптоты: $x = -1$.

Горизонтальная асимптота. На графике видно, что когда $x \to +\infty$ и когда $x \to -\infty$, график функции приближается к горизонтальной пунктирной прямой. Эта прямая проходит через точку $y=2$ на оси ординат. Следовательно, уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 2$.

Ответ: $x = -1$, $y = 2$.

39.5.

1)

2)

Рис. 39.8

1) Рассмотрим график, изображенный на рисунке 1. Он представляет собой график рациональной функции, у которой есть наклонная и вертикальная асимптоты.

Первым шагом определим уравнение наклонной асимптоты (пунктирная линия). Это прямая вида $y = ax + b$. Она проходит через начало координат (0, 0), поэтому $b=0$. Для нахождения углового коэффициента $a$ возьмем еще одну точку на прямой, например, (4, 2).$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{2}$.Следовательно, уравнение наклонной асимптоты: $y = \frac{1}{2}x$.

Далее найдем уравнение вертикальной асимптоты. График функции неограниченно приближается к оси $y$ (прямой $x=0$), но не пересекает ее. Таким образом, вертикальная асимптота — это прямая $x=0$.

Функция, имеющая наклонную асимптоту $y = ax + b$ и вертикальную асимптоту $x = d$, может быть записана в виде $y = ax + b + \frac{k}{x-d}$. Подставив найденные параметры асимптот, получаем: $y = \frac{1}{2}x + \frac{k}{x}$.

Чтобы найти неизвестный коэффициент $k$, выберем на графике функции точку с целочисленными координатами. Например, точка локального минимума в первой четверти имеет координаты (2, 2). Подставим эти значения в уравнение функции:

$2 = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{k}{2}$

$2 = 1 + \frac{k}{2}$

$1 = \frac{k}{2}$

$k = 2$.

Итоговое уравнение функции: $y = \frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$. Для проверки можно взять точку локального максимума в третьей четверти (-2, -2): $y(-2) = \frac{1}{2}(-2) + \frac{2}{-2} = -1 - 1 = -2$. Значение совпало, значит, уравнение найдено верно.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$.

2) Рассмотрим график, изображенный на рисунке 2. Это также график рациональной функции.

Найдем уравнение наклонной асимптоты. Пунктирная линия проходит через точки (0, 0) и (2, 2). Уравнение прямой $y = ax+b$. Так как она проходит через начало координат, $b=0$. Угловой коэффициент $a = \frac{2-0}{2-0} = 1$. Уравнение наклонной асимптоты: $y = x$.

Вертикальная асимптота, судя по поведению графика, — это прямая $x=1$.

Общий вид уравнения функции: $y = x + \frac{k}{x-1}$.

Для определения коэффициента $k$ воспользуемся точкой пересечения графика с осью $y$. Эта точка имеет координаты (0, 2). Подставим их в уравнение:

$2 = 0 + \frac{k}{0-1}$

$2 = -k$

$k = -2$.

Таким образом, искомое уравнение функции: $y = x - \frac{2}{x-1}$. Проверим его, используя точку пересечения графика с осью $x$, например, (2, 0): $y(2) = 2 - \frac{2}{2-1} = 2 - 2 = 0$. Равенство верное, уравнение найдено правильно.

Ответ: $y = x - \frac{2}{x-1}$.

39.6.

1)

2)

Рис. 39.9

1) На рисунке 1 изображен график рациональной функции с вертикальной и наклонной асимптотами.

Сначала определим уравнения асимптот.

Из графика видно, что вертикальной асимптотой является прямая $x = -1$. Это означает, что знаменатель функции обращается в ноль при $x = -1$, следовательно, он содержит множитель $(x+1)$.

Наклонная асимптота (показана пунктиром) является прямой линией вида $y = kx + b$. Для нахождения ее уравнения возьмем две точки, через которые она проходит, например, $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

Угловой коэффициент (наклон) $k = \frac{1 - 0}{0 - (-1)} = 1$.

Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, следовательно, $b = 1$.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты: $y = x + 1$.

Общий вид рациональной функции с такими асимптотами можно записать как сумму наклонной асимптоты и дроби, где в знаменателе стоит $(x+1)$, а в числителе — константа $c$:

$y = x + 1 + \frac{c}{x+1}$

Чтобы найти значение $c$, воспользуемся точкой, принадлежащей графику функции (сплошная линия). Из графика видно, что функция проходит через точку $(1, 4)$. Подставим эти координаты в уравнение:

$4 = 1 + 1 + \frac{c}{1+1}$

$4 = 2 + \frac{c}{2}$

$2 = \frac{c}{2}$

$c = 4$

Следовательно, искомое уравнение функции: $y = x + 1 + \frac{4}{x+1}$.

Для проверки можно взять другую точку с графика, например, локальный максимум в точке $(-3, -4)$:

$y(-3) = -3 + 1 + \frac{4}{-3+1} = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4$.

Значение совпадает, значит, уравнение найдено верно.

Ответ: $y = x+1 + \frac{4}{x+1}$

2) На рисунке 2 изображен график функции, которая имеет наклонную асимптоту.

Сначала определим уравнение наклонной асимптоты. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(-2, 2)$.

Угловой коэффициент $k = \frac{2-0}{-2-0} = -1$.

Прямая проходит через начало координат, поэтому $b=0$.

Уравнение наклонной асимптоты: $y = -x$.

Функция не имеет вертикальных асимптот, значит, она непрерывна на всей числовой оси.

Уравнение функции можно представить в виде $y = -x + g(x)$, где $g(x) \to 0$ при $x \to \pm\infty$.

Из графика видно, что при $x>0$ кривая функции лежит ниже асимптоты ($g(x)<0$), а при $x<0$ — выше асимптоты ($g(x)>0$). Это свойственно нечетным функциям. Предположим, что $g(x)$ — нечетная функция. Простейший вид такой рациональной функции, не имеющей вертикальных асимптот, — это $g(x) = \frac{ax}{x^2+c}$ при $c>0$.

Таким образом, ищем функцию в виде $y = -x + \frac{ax}{x^2+c}$.

Условие $g(x)<0$ для $x>0$ выполняется, если $a<0$.

Для определения коэффициентов $a$ и $c$ воспользуемся информацией об экстремумах функции. Найдем производную:

$y' = -1 + \frac{a(x^2+c) - ax(2x)}{(x^2+c)^2} = -1 + \frac{a(c-x^2)}{(x^2+c)^2}$

В точках экстремума $y'=0$, откуда $-1 = \frac{a(c-x^2)}{(x^2+c)^2}$, или $-(x^2+c)^2 = a(c-x^2)$.

Для существования решений этого уравнения необходимо, чтобы правая часть была отрицательной. Так как $a<0$, требуется, чтобы $c-x^2>0$, что противоречит виду графика (экстремумы находятся не между $-1$ и $1$).

Проверим еще раз: правая часть $a(c-x^2)$ должна быть отрицательной. Поскольку $a<0$, то $c-x^2$ должно быть положительным. Нет, $c-x^2$ должно быть отрицательным, чтобы $a(c-x^2)$ было положительным, что невозможно, так как левая часть $-(x^2+c)^2$ всегда отрицательна.

Давайте перепроверим знак $a$. При $x \to +\infty$, $g(x) = y - (-x)$ отрицательно, так как кривая ниже асимптоты. $g(x) = \frac{ax}{x^2+c} \approx \frac{ax}{x^2} = \frac{a}{x}$. Для $x>0$, $\frac{a}{x}$ должно быть отрицательным, значит $a<0$.

Тогда моя производная была $y' = -1 + \frac{a(c-x^2)}{(x^2+c)^2}$. Пусть $a=-A$, где $A>0$.$y' = -1 - \frac{A(c-x^2)}{(x^2+c)^2}$.$y'=0 \implies -1 = \frac{A(c-x^2)}{(x^2+c)^2} \implies -(x^2+c)^2 = A(c-x^2)$.

Для существования экстремумов необходимо, чтобы $c-x^2 < 0$, то есть $x^2 > c$. Это соответствует графику.

Наиболее простой случай, приводящий к единственной паре экстремумов, — это $A=8c$. При этом условии экстремумы находятся в точках $x^2=3c$.

Выберем простейшее возможное значение $c=1$. Тогда $A=8$, и $a=-8$.

Получаем уравнение: $y = -x - \frac{8x}{x^2+1}$.

Проверим эту функцию. Экстремумы должны быть в точках $x = \pm\sqrt{3c} = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73$.

Найдем значение функции в точке минимума $x=\sqrt{3}$:$y(\sqrt{3}) = -\sqrt{3} - \frac{8\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2+1} = -\sqrt{3} - \frac{8\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -3\sqrt{3} \approx -5.2$.

Найдем значение функции в точке максимума $x=-\sqrt{3}$:$y(-\sqrt{3}) = -(-\sqrt{3}) - \frac{8(-\sqrt{3})}{(-\sqrt{3})^2+1} = \sqrt{3} + \frac{8\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \approx 5.2$.

Положение и значения экстремумов на графике соответствуют этим расчетам.

Ответ: $y = -x - \frac{8x}{x^2+1}$