Страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. При каких значениях $a$ график функции $y = f(ax)$ получается из графика функции $y = f(x)$:
а) его растяжением вдоль оси $Ox$;
б) его сжатием вдоль оси $Ox$;
в) с помощью симметрии относительно оси $Oy$? Приведите примеры.

2. Как, используя график функции $y = f(x)$, построить график функции:
а) $y = f(-2x)$;
б) $y = f(-0,5x)$?

3. Как связаны координаты точек графиков функций $y = f(x)$ и $y = f(ax)$, если:
а) $a > 1$;
б) $0 < a < 1$;
в) $a = -1$? Приведите примеры.

1. а) График функции $y = f(ax)$ получается из графика $y = f(x)$ его растяжением вдоль оси $Ox$, если коэффициент преобразования абсциссы больше единицы. Точка $(x_0, y_0)$ с графика $y = f(x)$ переходит в точку $(x_1, y_0)$ на графике $y = f(ax)$ так, что $f(x_0) = f(ax_1)$, откуда $x_1 = x_0/a$. Растяжение означает, что новая абсцисса $x_1$ по модулю больше исходной $x_0$. Это условие, $|x_1| > |x_0|$, выполняется, когда $|x_0/a| > |x_0|$, что эквивалентно $1/|a| > 1$ или $|a| < 1$. Для растяжения без отражения относительно оси $Oy$, коэффициент $a$ должен быть положительным. Таким образом, растяжение происходит при $0 < a < 1$. Коэффициент растяжения равен $1/a$.

Пример: пусть $f(x) = \cos(x)$. При $a=0.5$ функция принимает вид $y = \cos(0.5x)$. Ее график получается растяжением графика $y = \cos(x)$ от оси $Oy$ в $1/0.5 = 2$ раза.

Ответ: при $0 < a < 1$.

1. б) Его сжатием вдоль оси $Ox$. Аналогично пункту а), сжатие происходит, когда новая абсцисса $x_1$ по модулю меньше исходной $x_0$. Это условие, $|x_1| < |x_0|$, выполняется, когда $|x_0/a| < |x_0|$, что эквивалентно $1/|a| < 1$ или $|a| > 1$. Для сжатия без отражения коэффициент $a$ должен быть положительным. Таким образом, сжатие происходит при $a > 1$. Коэффициент сжатия равен $a$.

Пример: пусть $f(x) = \cos(x)$. При $a=2$ функция принимает вид $y = \cos(2x)$. Ее график получается сжатием графика $y = \cos(x)$ к оси $Oy$ в $2$ раза.

Ответ: при $a > 1$.

1. в) С помощью симметрии относительно оси $Oy$. Симметричное отображение точки $(x_0, y_0)$ относительно оси $Oy$ дает точку $(-x_0, y_0)$. Это означает, что новая абсцисса $x_1$ должна быть равна $-x_0$. Из соотношения $x_1 = x_0/a$ получаем $-x_0 = x_0/a$, откуда, если $x_0 \ne 0$, следует, что $a = -1$.

Пример: пусть $f(x) = (x-2)^2$. График функции $y = f(-x) = (-x-2)^2 = (x+2)^2$ является симметричным отражением графика $y=(x-2)^2$ относительно оси $Oy$.

Ответ: при $a = -1$.

2. а) Чтобы построить график функции $y = f(-2x)$, используя график функции $y = f(x)$, нужно выполнить два последовательных преобразования. В данном случае коэффициент $a = -2$.

1. Выполнить сжатие графика $y = f(x)$ вдоль оси $Ox$ к оси $Oy$ в 2 раза. В результате получится график функции $y = f(2x)$.

2. Полученный график $y = f(2x)$ симметрично отразить относительно оси $Oy$. В результате получится искомый график $y = f(-2x)$.

Порядок этих преобразований можно поменять.

Ответ: необходимо сжать график $y=f(x)$ вдоль оси $Ox$ в 2 раза, а затем полученный график отразить симметрично относительно оси $Oy$.

2. б) Чтобы построить график функции $y = f(-0.5x)$, используя график функции $y = f(x)$, нужно выполнить два последовательных преобразования. В данном случае коэффициент $a = -0.5$.

1. Выполнить растяжение графика $y = f(x)$ вдоль оси $Ox$ от оси $Oy$ в $1/0.5 = 2$ раза. В результате получится график функции $y = f(0.5x)$.

2. Полученный график $y = f(0.5x)$ симметрично отразить относительно оси $Oy$. В результате получится искомый график $y = f(-0.5x)$.

Порядок этих преобразований также можно поменять.

Ответ: необходимо растянуть график $y=f(x)$ вдоль оси $Ox$ в 2 раза, а затем полученный график отразить симметрично относительно оси $Oy$.

3. Координаты точек $(x_1, y_1)$ графика функции $y = f(ax)$ связаны с координатами точек $(x_0, y_0)$ графика функции $y = f(x)$ следующим образом: при одинаковой ординате ($y_1=y_0$) абсциссы связаны соотношением $x_1 = x_0/a$.

3. а) если $a > 1$. В этом случае $0 < 1/a < 1$, поэтому $|x_1| = |x_0/a| < |x_0|$. Это означает, что каждая точка графика $y=f(x)$ смещается по горизонтали к оси $Oy$. Происходит сжатие графика вдоль оси $Ox$ в $a$ раз.

Пример: точка $(4, 16)$ лежит на графике $y = x^2$. Для функции $y = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2$ (здесь $a=2 > 1$), соответствующая точка будет иметь координаты $(4/2, 16) = (2, 16)$. Действительно, $4 \cdot 2^2 = 16$.

Ответ: точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0/a, y_0)$ графика $y=f(ax)$, что соответствует сжатию вдоль оси $Ox$ в $a$ раз.

3. б) если $0 < a < 1$. В этом случае $1/a > 1$, поэтому $|x_1| = |x_0/a| > |x_0|$. Это означает, что каждая точка графика $y=f(x)$ смещается по горизонтали от оси $Oy$. Происходит растяжение графика вдоль оси $Ox$ в $1/a$ раз.

Пример: точка $(2, 4)$ лежит на графике $y = x^2$. Для функции $y = f(0.5x) = (0.5x)^2 = 0.25x^2$ (здесь $a=0.5$, $0

Ответ: точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0/a, y_0)$ графика $y=f(ax)$, что соответствует растяжению вдоль оси $Ox$ в $1/a$ раз.

3. в) если $a = -1$. В этом случае $x_1 = x_0/(-1) = -x_0$. Ордината остается той же, $y_1=y_0$. Преобразование $(x_0, y_0) \to (-x_0, y_0)$ является симметрией (отражением) относительно оси $Oy$.

Пример: точка $(3, \sqrt{3})$ лежит на графике $y=\sqrt{x}$. Для функции $y=f(-x)=\sqrt{-x}$ (здесь $a=-1$), соответствующая точка будет иметь координаты $(-3, \sqrt{3})$. Действительно, $\sqrt{-(-3)}=\sqrt{3}$.

Ответ: точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(-x_0, y_0)$ графика $y=f(ax)$, что соответствует симметрии относительно оси $Oy$.

5.1. Найдите координаты точки, в которую перейдет точка A(4; 5) в результате сжатия вдоль оси $Ox$ в $a$ раз, если $a$ равно:

1) 2;

2) 1,5;

3) 4.

Постройте эти точки на координатной плоскости.

Сжатие точки $A(x_0; y_0)$ вдоль оси $Ox$ в $a$ раз означает, что ее абсцисса (координата $x$) делится на коэффициент $a$, а ордината (координата $y$) остается неизменной. Таким образом, новые координаты $(x', y')$ вычисляются по формулам: $x' = x_0 / a$ и $y' = y_0$.

Исходная точка имеет координаты $A(4; 5)$, следовательно $x_0 = 4$ и $y_0 = 5$.

1) Если коэффициент сжатия $a = 2$, то новые координаты точки $A_1(x_1, y_1)$ будут:

$x_1 = x_0 / a = 4 / 2 = 2$

$y_1 = y_0 = 5$

Новая точка – $A_1(2; 5)$.

Ответ: $A_1(2; 5)$.

2) Если коэффициент сжатия $a = 1,5$, то новые координаты точки $A_2(x_2, y_2)$ будут:

$x_2 = x_0 / a = 4 / 1,5 = 4 / \frac{3}{2} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

$y_2 = y_0 = 5$

Новая точка – $A_2(\frac{8}{3}; 5)$.

Ответ: $A_2(\frac{8}{3}; 5)$.

3) Если коэффициент сжатия $a = 4$, то новые координаты точки $A_3(x_3, y_3)$ будут:

$x_3 = x_0 / a = 4 / 4 = 1$

$y_3 = y_0 = 5$

Новая точка – $A_3(1; 5)$.

Ответ: $A_3(1; 5)$.

Постройте эти точки на координатной плоскости.

Для построения точек на координатной плоскости необходимо начертить оси $Ox$ и $Oy$ и выбрать единичный отрезок. Затем следует отметить на плоскости исходную точку $A(4; 5)$ и полученные в результате сжатия точки $A_1(2; 5)$, $A_2(\frac{8}{3}; 5)$ и $A_3(1; 5)$. Координата $x$ точки $A_2$ равна $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, то есть эта точка по оси абсцисс будет расположена между 2 и 3. Все четыре точки ($A, A_1, A_2, A_3$) лежат на одной горизонтальной прямой $y = 5$. Сжатие вдоль оси $Ox$ привело к тому, что новые точки "приблизились" к оси $Oy$ по сравнению с исходной точкой $A$.

5.2. Найдите координаты точки, в которую перейдет точка $C(-2; 3)$ в результате сжатия вдоль оси $Ox$ в $a$ раз, если $a$ равно:

1) $-0.5$;

2) $-\frac{2}{5}$;

3) $\frac{3}{4}$.

Постройте эти точки на координатной плоскости.

Сжатие точки с координатами $(x; y)$ вдоль оси Ox с коэффициентом $a$ — это преобразование, при котором координаты новой точки $(x'; y')$ находятся по формулам:

$x' = a \cdot x$

$y' = y$

Исходная точка — $C(-2; 3)$. Мы найдем ее новые координаты для каждого заданного значения коэффициента $a$.

1) При $a = -0,5$ новые координаты $(x_1; y_1)$ вычисляются следующим образом:

$x_1 = a \cdot x_C = -0,5 \cdot (-2) = 1$

$y_1 = y_C = 3$

Следовательно, точка $C$ переходит в точку $C_1(1; 3)$.

Ответ: $C_1(1; 3)$.

2) При $a = -\frac{2}{5}$ новые координаты $(x_2; y_2)$ вычисляются следующим образом:

$x_2 = a \cdot x_C = \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot (-2) = \frac{4}{5} = 0,8$

$y_2 = y_C = 3$

Следовательно, точка $C$ переходит в точку $C_2\left(\frac{4}{5}; 3\right)$.

Ответ: $C_2\left(\frac{4}{5}; 3\right)$.

3) При $a = \frac{3}{4}$ новые координаты $(x_3; y_3)$ вычисляются следующим образом:

$x_3 = a \cdot x_C = \frac{3}{4} \cdot (-2) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$

$y_3 = y_C = 3$

Следовательно, точка $C$ переходит в точку $C_3\left(-\frac{3}{2}; 3\right)$.

Ответ: $C_3\left(-\frac{3}{2}; 3\right)$.

Постройте эти точки на координатной плоскости.

Для построения точек на координатной плоскости выполним следующие действия:

1. Начертим прямоугольную систему координат с осями Ox (горизонтальная) и Oy (вертикальная) и началом в точке O(0; 0).

2. Зададим единичный отрезок.

3. Отметим исходную точку $C(-2; 3)$. Она находится во второй координатной четверти (2 единицы влево по оси Ox, 3 единицы вверх по оси Oy).

4. Отметим полученные точки:

- $C_1(1; 3)$: находится в первой координатной четверти (1 единица вправо по Ox, 3 единицы вверх по Oy).

- $C_2\left(\frac{4}{5}; 3\right)$ или $C_2(0,8; 3)$: также находится в первой координатной четверти, немного левее точки $C_1$ (0,8 единицы вправо по Ox, 3 единицы вверх по Oy).

- $C_3\left(-\frac{3}{2}; 3\right)$ или $C_3(-1,5; 3)$: находится во второй координатной четверти, между исходной точкой C и осью Oy (1,5 единицы влево по Ox, 3 единицы вверх по Oy).

Все построенные точки ($C, C_1, C_2, C_3$) лежат на одной прямой $y=3$, параллельной оси абсцисс.

5.3. Найдите координаты точки, в которую перейдет точка $M(-4; 6)$ в результате сжатия вдоль оси $O_x$ в $a$ раз, если $a$ равно:

1) 0,5;

2) $\frac{2}{3}$;

3) $\frac{4}{5}$.

Постройте эти точки на координатной плоскости.

Сжатие вдоль оси Ox в $a$ раз — это преобразование плоскости, при котором любая точка $(x; y)$ переходит в точку $(x'; y')$, координаты которой вычисляются по формулам:

$x' = \frac{x}{a}$

$y' = y$

Дана точка $M(-4; 6)$. Найдем ее новые координаты для каждого значения $a$.

1) При $a = 0,5$ новые координаты точки $M_1(x_1; y_1)$ равны:

$x_1 = \frac{-4}{0,5} = -8$

$y_1 = 6$

Следовательно, новая точка — $M_1(-8; 6)$.

Ответ: $(-8; 6)$.

2) При $a = \frac{2}{3}$ новые координаты точки $M_2(x_2; y_2)$ равны:

$x_2 = \frac{-4}{2/3} = -4 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{12}{2} = -6$

$y_2 = 6$

Следовательно, новая точка — $M_2(-6; 6)$.

Ответ: $(-6; 6)$.

3) При $a = \frac{4}{5}$ новые координаты точки $M_3(x_3; y_3)$ равны:

$x_3 = \frac{-4}{4/5} = -4 \cdot \frac{5}{4} = -5$

$y_3 = 6$

Следовательно, новая точка — $M_3(-5; 6)$.

Ответ: $(-5; 6)$.

Построение точек на координатной плоскости

Нанесем на координатную плоскость исходную точку $M(-4; 6)$ и полученные в результате сжатия точки $M₁(-8; 6)$, $M₂(-6; 6)$ и $M₃(-5; 6)$. Все четыре точки лежат на одной горизонтальной прямой $y=6$.

38.9. Постройте график функции $y = f(x)$. Исследуйте функцию на непрерывность:

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 2 \\ |x| + 1 & \text{при } x > 2 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{при } x \le 0 \\ |x| - 1 & \text{при } x > 0 \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} x^2 - x & \text{при } x \le 2 \\ 4 - x^2 & \text{при } x > 2 \end{cases}$

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 2, \\ |x| + 1 & \text{при } x > 2. \end{cases}$

Для построения графика функции рассмотрим ее на двух интервалах.

При $x \le 2$, функция имеет вид $y = x^2 - 1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -1)$. Найдем несколько ключевых точек на этом участке:

$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$

$f(0) = 0^2 - 1 = -1$ (вершина)

$f(1) = 1^2 - 1 = 0$

$f(2) = 2^2 - 1 = 3$. Эта точка $(2, 3)$ является конечной для данного участка параболы и принадлежит графику (закрашенная точка).

При $x > 2$, функция имеет вид $y = |x| + 1$. Поскольку на этом интервале $x$ всегда положителен, $|x| = x$, и функция упрощается до $y = x + 1$. Графиком является луч, выходящий из точки, соответствующей $x=2$. Найдем "начальную" точку луча (она будет выколотой, так как неравенство строгое): при $x=2$, $y = 2 + 1 = 3$. Таким образом, луч начинается в точке $(2, 3)$. Возьмем еще одну точку для построения, например, $f(3) = 3 + 1 = 4$.

График функции состоит из части параболы $y=x^2-1$ на интервале $(-\infty, 2]$ и луча $y=x+1$ на интервале $(2, \infty)$.

Исследование на непрерывность:

Функция определена и непрерывна на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$, так как на них она задана элементарными непрерывными функциями. Единственная точка, где непрерывность может нарушаться, это $x=2$.

Проверим условия непрерывности в точке $x=2$:

1. Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 - 1 = 3$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (|x| + 1) = |2| + 1 = 3$.

Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=2$ равны ($3 = 3 = 3$), функция непрерывна в этой точке.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси $x \in (-\infty, +\infty)$.

2) $f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{при } x \le 0, \\ |x| - 1 & \text{при } x > 0. \end{cases}$

Построим график, рассмотрев два интервала.

При $x \le 0$, функция имеет вид $y = x^2 - x - 1$. Это парабола с ветвями вверх. Координата x вершины параболы $x_v = -(-1)/(2 \cdot 1) = 0.5$, что не входит в данный интервал. Найдем несколько точек:

$f(-1) = (-1)^2 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$

$f(0) = 0^2 - 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ является конечной для этого участка и принадлежит графику (закрашенная).

При $x > 0$, функция имеет вид $y = |x| - 1$. Так как $x > 0$, то $|x| = x$, и функция становится $y = x - 1$. Это луч, начинающийся из точки, соответствующей $x=0$. Найдем "начальную" точку: при $x=0$, $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ будет выколотой. Для построения луча возьмем еще одну точку: $f(1) = 1 - 1 = 0$.

График состоит из части параболы $y=x^2-x-1$ на $(-\infty, 0]$ и луча $y=x-1$ на $(0, \infty)$.

Исследование на непрерывность:

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$. Проверим точку "стыка" $x=0$.

1. Значение функции: $f(0) = 0^2 - 0 - 1 = -1$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 - x - 1) = 0^2 - 0 - 1 = -1$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (|x| - 1) = |0| - 1 = -1$.

Все три значения равны, следовательно, функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси $x \in (-\infty, +\infty)$.

3) $f(x) = \begin{cases} x^2 - x & \text{при } x \le 2, \\ 4 - x^2 & \text{при } x > 2. \end{cases}$

Построим график функции по частям.

При $x \le 2$, функция имеет вид $y = x^2 - x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_v = -(-1)/(2 \cdot 1) = 0.5$, $y_v = (0.5)^2 - 0.5 = -0.25$. Точки пересечения с осью Ох: $x(x-1)=0$, т.е. $x=0$ и $x=1$. Ключевая точка на границе: $f(2) = 2^2 - 2 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику (закрашенная).

При $x > 2$, функция имеет вид $y = 4 - x^2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 4)$. Рассмотрим ее часть при $x>2$. Найдем предел справа в граничной точке $x=2$: $\lim_{x \to 2^+} (4 - x^2) = 4 - 2^2 = 0$. Таким образом, этот кусок графика начинается из выколотой точки $(2, 0)$. Возьмем еще одну точку: $f(3) = 4 - 3^2 = -5$.

График состоит из части параболы $y=x^2-x$ на $(-\infty, 2]$ и части параболы $y=4-x^2$ на $(2, \infty)$.

Исследование на непрерывность:

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$. Проверим точку $x=2$.

1. Значение функции: $f(2) = 2^2 - 2 = 2$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - x) = 2^2 - 2 = 2$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (4 - x^2) = 4 - 2^2 = 0$.

Так как левосторонний предел ($2$) не равен правостороннему пределу ($0$), функция имеет разрыв в точке $x=2$. Поскольку оба односторонних предела существуют и конечны, это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $\lim_{x \to 2^+} f(x) - \lim_{x \to 2^-} f(x) = 0 - 2 = -2$.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$. В точке $x=2$ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

38.10. Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график:

1) $f(x) = \begin{cases} x-1, & x \le 0, \\ x^2-5, & 0 < x \le 3, \\ 4, & x > 3; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 2-x, & x \le 1, \\ x^2-6, & 1 < x \le 3, \\ x, & x > 3; \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 0, \\ 2x-2, & 0 < x \le 2, \\ 2, & x > 2; \end{cases}$

4) $f(x) = \begin{cases} 3x, & x \le -1, \\ 2x-x^2, & -1 < x \le 2, \\ 0, & x > 2; \end{cases}$

5) $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \le -1, \\ x^2-3, & -1 < x \le 3, \\ 3+x, & x > 3; \end{cases}$

6) $f(x) = \begin{cases} 1-2x-x^2, & x \le -1, \\ x^2-5, & -1 < x \le 3, \\ 1-2x, & x > 3. \end{cases}$

1) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} x-1, & x \le 0 \\ x^2-5, & 0 < x \le 3 \\ 4, & x > 3 \end{cases} $.

Исследование на непрерывность:

Область определения функции - все действительные числа, $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

Функция является элементарной на каждом из интервалов $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$, следовательно, она непрерывна на них. Исследуем непрерывность в точках "стыка" $x=0$ и $x=3$.

В точке $x=0$:

Вычислим односторонние пределы и значение функции:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} (x-1) = 0-1 = -1 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} (x^2-5) = 0^2-5 = -5 $.

Значение функции: $ f(0) = 0-1 = -1 $.

Так как левосторонний и правосторонний пределы не равны ($ -1 \neq -5 $), в точке $ x=0 $ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=3$:

Вычислим односторонние пределы и значение функции:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^-} (x^2-5) = 3^2-5 = 9-5 = 4 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^+} f(x) = \lim_{x\to 3^+} 4 = 4 $.

Значение функции: $ f(3) = 3^2-5 = 4 $.

Так как $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^+} f(x) = f(3) = 4 $, в точке $ x=3 $ функция непрерывна.

Построение графика:

1. На интервале $ (-\infty, 0] $ строим график функции $ y = x-1 $. Это луч, проходящий через точки $(-2, -3)$, $(-1, -2)$ и заканчивающийся в точке $(0, -1)$ (точка закрашенная).

2. На интервале $ (0, 3] $ строим график функции $ y = x^2-5 $. Это часть параболы с вершиной в $(0, -5)$. Начальная точка $(0, -5)$ выколота, конечная точка $(3, 4)$ закрашена.

3. На интервале $ (3, +\infty) $ строим график функции $ y = 4 $. Это горизонтальный луч, начинающийся из точки $(3, 4)$.

Ответ: Функция непрерывна на $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $. В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

2) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} 2-x, & x \le 1 \\ x^2-6, & 1 < x < 3 \\ x, & x > 3 \end{cases} $.

Исследование на непрерывность:

Область определения функции $ D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) $, так как функция не определена в точке $x=3$.

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, +\infty)$. Исследуем точки $x=1$ и $x=3$.

В точке $x=1$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} (2-x) = 2-1 = 1 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} (x^2-6) = 1^2-6 = -5 $.

Значение функции: $ f(1) = 2-1 = 1 $.

Так как $ \lim_{x\to 1^-} f(x) \neq \lim_{x\to 1^+} f(x) $ ($ 1 \neq -5 $), в точке $ x=1 $ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=3$:

Функция не определена в этой точке, следовательно, она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы, чтобы классифицировать тип разрыва.

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^-} (x^2-6) = 3^2-6 = 3 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^+} f(x) = \lim_{x\to 3^+} x = 3 $.

Так как односторонние пределы существуют, конечны и равны, в точке $ x=3 $ функция имеет устранимый разрыв.

Построение графика:

1. На интервале $ (-\infty, 1] $ строим график $ y = 2-x $. Это луч, проходящий через $(0, 2)$ и заканчивающийся в $(1, 1)$ (точка закрашенная).

2. На интервале $ (1, 3) $ строим график $ y = x^2-6 $. Это часть параболы с вершиной в $(0,-6)$. График начинается в точке $(1, -5)$ (выколота) и заканчивается в точке $(3, 3)$ (выколота).

3. На интервале $ (3, +\infty) $ строим график $ y = x $. Это луч, начинающийся из точки $(3, 3)$ (выколота) и проходящий через $(4, 4)$.

Ответ: Функция непрерывна на $ x \in (-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty) $. В точке $x=1$ разрыв первого рода (скачок), в точке $x=3$ — устранимый разрыв.

3) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ 2x-2, & 0 < x \le 2 \\ 2, & x > 2 \end{cases} $.

Исследование на непрерывность:

Область определения $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Исследуем точки $x=0$ и $x=2$.

В точке $x=0$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} x^2 = 0 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} (2x-2) = -2 $.

Значение функции: $ f(0) = 0^2 = 0 $.

Так как $ \lim_{x\to 0^-} f(x) \neq \lim_{x\to 0^+} f(x) $ ($ 0 \neq -2 $), в точке $ x=0 $ разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=2$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-} (2x-2) = 2(2)-2 = 2 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} 2 = 2 $.

Значение функции: $ f(2) = 2(2)-2 = 2 $.

Так как $ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2) = 2 $, в точке $ x=2 $ функция непрерывна.

Построение графика:

1. На $ (-\infty, 0] $ строим график $ y = x^2 $. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$. Точка $(0,0)$ закрашена.

2. На $ (0, 2] $ строим график $ y = 2x-2 $. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -2)$ (выколота) и $(2, 2)$ (закрашена).

3. На $ (2, +\infty) $ строим график $ y = 2 $. Это горизонтальный луч, выходящий из точки $(2, 2)$.

Ответ: Функция непрерывна на $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $. В точке $x=0$ разрыв первого рода (скачок).

4) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} 3x, & x \le -1 \\ 2x-x^2, & -1 < x \le 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases} $. (Интервалы взяты в предположении, что функция определена на всей числовой оси).

Исследование на непрерывность:

Область определения $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$ и $(2, +\infty)$. Исследуем точки $x=-1$ и $x=2$.

В точке $x=-1$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^-} (3x) = -3 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^+} f(x) = \lim_{x\to -1^+} (2x-x^2) = 2(-1)-(-1)^2 = -2-1 = -3 $.

Значение функции: $ f(-1) = 3(-1) = -3 $.

Так как $ \lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^+} f(x) = f(-1) = -3 $, в точке $ x=-1 $ функция непрерывна.

В точке $x=2$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-} (2x-x^2) = 2(2)-2^2 = 4-4 = 0 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} 0 = 0 $.

Значение функции: $ f(2) = 2(2)-2^2 = 0 $.

Так как $ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2) = 0 $, в точке $ x=2 $ функция непрерывна.

Построение графика:

1. На $ (-\infty, -1] $ строим график $ y = 3x $. Это луч, проходящий через $(-2, -6)$ и заканчивающийся в $(-1, -3)$ (точка закрашена).

2. На $ (-1, 2] $ строим график $ y = 2x-x^2 = -(x-1)^2+1 $. Это часть параболы с вершиной в $(1, 1)$, ветвями вниз. Начинается в $(-1, -3)$ (выколота), заканчивается в $(2, 0)$ (закрашена).

3. На $ (2, +\infty) $ строим график $ y = 0 $. Это луч, совпадающий с положительной частью оси Ox, начинающийся от точки $(2, 0)$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси $ (-\infty, +\infty) $.

5) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \le -1 \\ x^2-3, & -1 < x \le 3 \\ 3+x, & x > 3 \end{cases} $.

Исследование на непрерывность:

Область определения $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ и $(3, +\infty)$. Исследуем точки $x=-1$ и $x=3$.

В точке $x=-1$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^-} (x^2+1) = (-1)^2+1 = 2 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^+} f(x) = \lim_{x\to -1^+} (x^2-3) = (-1)^2-3 = -2 $.

Значение функции: $ f(-1) = (-1)^2+1 = 2 $.

Так как $ \lim_{x\to -1^-} f(x) \neq \lim_{x\to -1^+} f(x) $ ($ 2 \neq -2 $), в точке $ x=-1 $ разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=3$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^-} (x^2-3) = 3^2-3 = 6 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^+} f(x) = \lim_{x\to 3^+} (3+x) = 3+3 = 6 $.

Значение функции: $ f(3) = 3^2-3 = 6 $.

Так как $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^+} f(x) = f(3) = 6 $, в точке $ x=3 $ функция непрерывна.

Построение графика:

1. На $ (-\infty, -1] $ строим график $ y = x^2+1 $. Это левая часть параболы с вершиной в $(0, 1)$, заканчивающаяся в точке $(-1, 2)$ (закрашена).

2. На $ (-1, 3] $ строим график $ y = x^2-3 $. Это часть параболы с вершиной в $(0, -3)$. Начинается в $(-1, -2)$ (выколота), заканчивается в $(3, 6)$ (закрашена).

3. На $ (3, +\infty) $ строим график $ y = 3+x $. Это луч, выходящий из точки $(3, 6)$ и проходящий через $(4, 7)$.

Ответ: Функция непрерывна на $ x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) $. В точке $x=-1$ разрыв первого рода (скачок).

6) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} 1-2x-x^2, & x \le -1 \\ x^2-5, & -1 < x \le 3 \\ 1-2x, & x > 3 \end{cases} $. (Интервалы взяты в предположении, что функция определена на всей числовой оси).

Исследование на непрерывность:

Область определения $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ и $(3, +\infty)$. Исследуем точки $x=-1$ и $x=3$.

В точке $x=-1$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^-} (1-2x-x^2) = 1-2(-1)-(-1)^2 = 1+2-1=2 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^+} f(x) = \lim_{x\to -1^+} (x^2-5) = (-1)^2-5 = 1-5 = -4 $.

Значение функции: $ f(-1) = 2 $.

Так как $ \lim_{x\to -1^-} f(x) \neq \lim_{x\to -1^+} f(x) $ ($ 2 \neq -4 $), в точке $ x=-1 $ разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=3$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^-} (x^2-5) = 3^2-5 = 4 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^+} f(x) = \lim_{x\to 3^+} (1-2x) = 1-2(3) = -5 $.

Значение функции: $ f(3) = 3^2-5 = 4 $.

Так как $ \lim_{x\to 3^-} f(x) \neq \lim_{x\to 3^+} f(x) $ ($ 4 \neq -5 $), в точке $ x=3 $ разрыв первого рода (скачок).

Построение графика:

1. На $ (-\infty, -1] $ строим график $ y = -x^2-2x+1 = -(x+1)^2+2 $. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(-1, 2)$ (закрашена).

2. На $ (-1, 3] $ строим график $ y = x^2-5 $. Это часть параболы с вершиной в $(0, -5)$. Начинается в $(-1, -4)$ (выколота), заканчивается в $(3, 4)$ (закрашена).

3. На $ (3, +\infty) $ строим график $ y = 1-2x $. Это луч, выходящий из точки $(3, -5)$ (выколота) и проходящий через $(4, -7)$.

Ответ: Функция непрерывна на $ x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 3) \cup (3, +\infty) $. В точках $x=-1$ и $x=3$ разрывы первого рода (скачки).

38.11. Найдите значения A, при которых функция:

$f(x) = \begin{cases} H(x), \text{ если } x \neq x_0 \\ A, \text{ если } x = x_0 \end{cases}$ является непрерывной в точке $x_0$.

1) $H(x) = 2\sin 4x, x_0 = \frac{\pi}{8};$

2) $H(x) = -\cos \frac{2x}{3}, x_0 = \frac{3\pi}{4};$

3) $H(x) = \frac{x^2 - 5x - 14}{x + 2}, x_0 = -2;$

4) $H(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}, x_0 = 4.$

Для того чтобы функция $f(x)$ была непрерывной в точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, был равен значению функции в этой точке. По определению, $f(x_0) = A$. Следовательно, значение $A$ должно быть равно пределу функции $H(x)$ при $x \to x_0$.

$A = \lim_{x \to x_0} H(x)$

Найдем значения $A$ для каждого случая.

1) $H(x) = 2\sin(4x)$, $x_0 = \frac{\pi}{8}$

Вычисляем предел:

$A = \lim_{x \to \frac{\pi}{8}} 2\sin(4x)$

Так как функция $y = \sin(x)$ непрерывна на всей числовой оси, мы можем подставить значение $x_0$ непосредственно в выражение:

$A = 2\sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $A = 2$.

2) $H(x) = -\cos(\frac{2x}{3})$, $x_0 = \frac{3\pi}{4}$

Вычисляем предел:

$A = \lim_{x \to \frac{3\pi}{4}} (-\cos(\frac{2x}{3}))$

Функция $y = \cos(x)$ также непрерывна, поэтому подставляем значение $x_0$:

$A = -\cos(\frac{2 \cdot \frac{3\pi}{4}}{3}) = -\cos(\frac{\frac{3\pi}{2}}{3}) = -\cos(\frac{3\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) = -0 = 0$.

Ответ: $A = 0$.

3) $H(x) = \frac{x^2 - 5x - 14}{x + 2}$, $x_0 = -2$

Вычисляем предел:

$A = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 5x - 14}{x + 2}$

При подстановке $x = -2$ в числитель и знаменатель возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$ равны $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, $x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)$.

Теперь мы можем упростить дробь и вычислить предел:

$A = \lim_{x \to -2} \frac{(x - 7)(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x - 7) = -2 - 7 = -9$.

Ответ: $A = -9$.

4) $H(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$, $x_0 = 4$

Вычисляем предел:

$A = \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

При $x = 4$ мы снова получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия представим знаменатель как разность квадратов: $x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$.

Подставим это в предел:

$A = \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Теперь можно подставить значение $x = 4$:

$A = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $A = \frac{1}{4}$.

38.12. Найдите наименьший положительный период и множество значений функции:

1) $f(x) = 3\cos2x;$

2) $f(x) = 2\sin4x;$

3) $f(x) = \operatorname{tg}\frac{x}{2};$

4) $f(x) = 2\{x\}.$

1) f(x) = 3cos2x

Чтобы найти наименьший положительный период функции вида $y = A\cos(kx+b)$, используется формула $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае функция $f(x) = 3\cos(2x)$, где коэффициент $k=2$. Наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Чтобы найти множество значений функции, определим диапазон для $\cos(2x)$. Известно, что множество значений функции косинус – это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Умножим все части неравенства на 3: $3 \cdot (-1) \le 3\cos(2x) \le 3 \cdot 1$. Получаем $-3 \le f(x) \le 3$. Следовательно, множество значений функции – это отрезок $[-3; 3]$.

Ответ: наименьший положительный период $T = \pi$; множество значений $E(f) = [-3; 3]$.

2) f(x) = 2sin4x

Чтобы найти наименьший положительный период функции вида $y = A\sin(kx+b)$, используется формула $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае функция $f(x) = 2\sin(4x)$, где коэффициент $k=4$. Наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$.

Чтобы найти множество значений функции, определим диапазон для $\sin(4x)$. Множество значений функции синус – это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin(4x) \le 1$. Умножим все части неравенства на 2: $2 \cdot (-1) \le 2\sin(4x) \le 2 \cdot 1$. Получаем $-2 \le f(x) \le 2$. Следовательно, множество значений функции – это отрезок $[-2; 2]$.

Ответ: наименьший положительный период $T = \frac{\pi}{2}$; множество значений $E(f) = [-2; 2]$.

3) f(x) = tg(x/2)

Чтобы найти наименьший положительный период функции вида $y = A\tan(kx+b)$, используется формула $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае функция $f(x) = \tan(\frac{x}{2})$, где коэффициент $k=\frac{1}{2}$. Наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = 2\pi$.

Множество значений функции тангенс – это все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$. Преобразование аргумента $x \rightarrow \frac{x}{2}$ не меняет множество значений функции. Следовательно, множество значений функции $f(x) = \tan(\frac{x}{2})$ – это $(-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$.

Ответ: наименьший положительный период $T = 2\pi$; множество значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) f(x) = 2{x}

Здесь $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$, определяемую как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ – целая часть числа $x$. Функция $g(x) = \{x\}$ является периодической. Ее наименьший положительный период равен 1, так как $\{x+1\} = (x+1) - \lfloor x+1 \rfloor = x+1 - (\lfloor x \rfloor + 1) = x - \lfloor x \rfloor = \{x\}$. Умножение на константу 2 не влияет на период функции. Следовательно, наименьший положительный период функции $f(x) = 2\{x\}$ также равен 1.

Чтобы найти множество значений функции, определим диапазон для $\{x\}$. По определению дробной части, $0 \le \{x\} < 1$. Умножим все части этого двойного неравенства на 2: $2 \cdot 0 \le 2\{x\} < 2 \cdot 1$. Получаем $0 \le f(x) < 2$. Следовательно, множество значений функции – это полуинтервал $[0; 2)$.

Ответ: наименьший положительный период $T = 1$; множество значений $E(f) = [0; 2)$.