Номер 38.11, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.11. Найдите значения A, при которых функция:

$f(x) = \begin{cases} H(x), \text{ если } x \neq x_0 \\ A, \text{ если } x = x_0 \end{cases}$ является непрерывной в точке $x_0$.

1) $H(x) = 2\sin 4x, x_0 = \frac{\pi}{8};$

2) $H(x) = -\cos \frac{2x}{3}, x_0 = \frac{3\pi}{4};$

3) $H(x) = \frac{x^2 - 5x - 14}{x + 2}, x_0 = -2;$

4) $H(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}, x_0 = 4.$

Для того чтобы функция $f(x)$ была непрерывной в точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, был равен значению функции в этой точке. По определению, $f(x_0) = A$. Следовательно, значение $A$ должно быть равно пределу функции $H(x)$ при $x \to x_0$.

$A = \lim_{x \to x_0} H(x)$

Найдем значения $A$ для каждого случая.

1) $H(x) = 2\sin(4x)$, $x_0 = \frac{\pi}{8}$

Вычисляем предел:

$A = \lim_{x \to \frac{\pi}{8}} 2\sin(4x)$

Так как функция $y = \sin(x)$ непрерывна на всей числовой оси, мы можем подставить значение $x_0$ непосредственно в выражение:

$A = 2\sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $A = 2$.

2) $H(x) = -\cos(\frac{2x}{3})$, $x_0 = \frac{3\pi}{4}$

Вычисляем предел:

$A = \lim_{x \to \frac{3\pi}{4}} (-\cos(\frac{2x}{3}))$

Функция $y = \cos(x)$ также непрерывна, поэтому подставляем значение $x_0$:

$A = -\cos(\frac{2 \cdot \frac{3\pi}{4}}{3}) = -\cos(\frac{\frac{3\pi}{2}}{3}) = -\cos(\frac{3\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) = -0 = 0$.

Ответ: $A = 0$.

3) $H(x) = \frac{x^2 - 5x - 14}{x + 2}$, $x_0 = -2$

Вычисляем предел:

$A = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 5x - 14}{x + 2}$

При подстановке $x = -2$ в числитель и знаменатель возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$ равны $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, $x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)$.

Теперь мы можем упростить дробь и вычислить предел:

$A = \lim_{x \to -2} \frac{(x - 7)(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x - 7) = -2 - 7 = -9$.

Ответ: $A = -9$.

4) $H(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$, $x_0 = 4$

Вычисляем предел:

$A = \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

При $x = 4$ мы снова получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия представим знаменатель как разность квадратов: $x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$.

Подставим это в предел:

$A = \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Теперь можно подставить значение $x = 4$:

$A = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $A = \frac{1}{4}$.