Номер 38.5, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.5. Исследуйте на непрерывность функцию f(x). Постройте график f(x):

1) $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{при } x \le 0, \\ 1 - x^2 & \text{при } x > 0; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} -x & \text{при } x \le 0, \\ x^2 + 1 & \text{при } x > 0; \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 2, \\ 1 - x & \text{при } x > 2. \end{cases}$

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{при } x \le 0, \\ 1 - x^2 & \text{при } x > 0. \end{cases}$

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$ функция непрерывна, так как на этих интервалах она совпадает с элементарными функциями (константой и многочленом), которые непрерывны на своей области определения. Единственной точкой, где непрерывность может нарушаться, является точка $x=0$, где меняется аналитическое выражение функции.

Для проверки непрерывности в точке $x=0$ необходимо, чтобы выполнялось условие $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x=0$. Согласно определению, при $x \le 0$, $f(x)=1$. Следовательно, $f(0) = 1$.

2. Найдем левосторонний предел при $x \to 0^-$. При $x \to 0^-$ (x стремится к нулю слева), $x < 0$, поэтому $f(x) = 1$.

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 1 = 1$.

3. Найдем правосторонний предел при $x \to 0^+$. При $x \to 0^+$ (x стремится к нулю справа), $x > 0$, поэтому $f(x) = 1 - x^2$.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 - x^2) = 1 - 0^2 = 1$.

Так как левосторонний предел равен правостороннему пределу и равен значению функции в точке $x=0$ ($1=1=1$), функция является непрерывной в точке $x=0$. Следовательно, функция непрерывна на всей числовой оси.

Построение графика:

1. При $x \le 0$ график функции $f(x)=1$ представляет собой горизонтальный луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий влево вдоль прямой $y=1$. Точка $(0, 1)$ принадлежит графику.

2. При $x > 0$ график функции $f(x)=1-x^2$ представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 1)$. Мы строим правую ветвь этой параболы для $x>0$. Парабола проходит через точки, например, $(1, 0)$ и $(2, -3)$.

График состоит из двух частей, которые плавно соединяются в точке $(0, 1)$.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси $\mathbb{R}$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} -x & \text{при } x \le 0, \\ x^2 + 1 & \text{при } x > 0. \end{cases}$

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$ функция непрерывна, так как она задана непрерывными элементарными функциями (линейной и квадратичной). Исследуем непрерывность в точке "стыка" $x=0$.

Проверим выполнение условия непрерывности $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

1. Значение функции в точке $x=0$: при $x \le 0$, $f(x)=-x$. Значит, $f(0) = -0 = 0$.

2. Левосторонний предел при $x \to 0^-$: при $x < 0$, $f(x) = -x$.

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$.

3. Правосторонний предел при $x \to 0^+$: при $x > 0$, $f(x) = x^2 + 1$.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$.

Так как левосторонний предел ($\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$) не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$), то предел функции в точке $x=0$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x=0$.

Поскольку существуют конечные односторонние пределы, это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|\lim_{x \to 0^+} f(x) - \lim_{x \to 0^-} f(x)| = |1 - 0| = 1$.

Построение графика:

1. При $x \le 0$ график функции $f(x)=-x$ — это луч прямой, проходящей через начало координат. Этот луч начинается в точке $(0, 0)$ и идет влево и вверх. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику (изображается закрашенной точкой).

2. При $x > 0$ график функции $f(x)=x^2+1$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола проходит через точки, например, $(1, 2)$ и $(2, 5)$. Начальная точка этой части графика, $(0, 1)$, не принадлежит графику (изображается выколотой точкой).

В точке $x=0$ график терпит разрыв: левая часть заканчивается в точке $(0, 0)$, а правая начинается в точке $(0, 1)$.

Ответ: функция непрерывна на $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$; в точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 2, \\ 1 - x & \text{при } x > 2. \end{cases}$

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. На интервалах $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$ функция непрерывна как элементарная (квадратичная и линейная). Исследуем на непрерывность в точке $x=2$.

Проверим условие непрерывности $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$.

1. Значение функции в точке $x=2$: при $x \le 2$, $f(x)=x^2$. Значит, $f(2) = 2^2 = 4$.

2. Левосторонний предел при $x \to 2^-$: при $x < 2$, $f(x) = x^2$.

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 2^2 = 4$.

3. Правосторонний предел при $x \to 2^+$: при $x > 2$, $f(x) = 1 - x$.

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (1 - x) = 1 - 2 = -1$.

Левосторонний предел ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4$) не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 2^+} f(x) = -1$). Следовательно, предел функции в точке $x=2$ не существует, и функция в этой точке разрывна.

Это разрыв первого рода (скачок), так как односторонние пределы существуют и конечны. Величина скачка равна $|\lim_{x \to 2^+} f(x) - \lim_{x \to 2^-} f(x)| = |-1 - 4| = 5$.

Построение графика:

1. При $x \le 2$ график функции $f(x)=x^2$ — это часть параболы с вершиной в $(0, 0)$ и ветвями вверх. Мы строим эту параболу до точки $x=2$. Конечная точка этой части — $(2, 4)$, она принадлежит графику (изображается закрашенной точкой).

2. При $x > 2$ график функции $f(x)=1-x$ — это луч прямой с угловым коэффициентом $-1$. Этот луч начинается от точки $(2, 1-2) = (2, -1)$ и идет вправо и вниз. Начальная точка луча, $(2, -1)$, не принадлежит графику (изображается выколотой точкой).

В точке $x=2$ график терпит разрыв: левая часть заканчивается в точке $(2, 4)$, а правая начинается в точке $(2, -1)$.

Ответ: функция непрерывна на $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$; в точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).