Задания, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Установите по графикам, какие из функций: $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$, $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \operatorname{tg} x$, $y = \sqrt{x - 2}$, $y = \frac{1}{x^2}$, $y = \frac{3x}{x - 2}$ непрерывны:
1) на множестве всех действительных чисел;
2) на области определения.

1) на множестве всех действительных чисел

Функция является непрерывной на множестве всех действительных чисел (то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$), если ее график можно нарисовать единой линией, не отрывая карандаш от бумаги. Это означает, что функция должна быть определена для любого действительного числа $x$ и не иметь точек разрыва (скачков, "дырок" или вертикальных асимптот).

Проанализируем каждую из предложенных функций:

• $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$: Это многочлены. Их область определения - все действительные числа. Графики этих функций (прямая, парабола и кубическая парабола) являются сплошными линиями без разрывов. Следовательно, они непрерывны на множестве всех действительных чисел.
• $y = \sin x$, $y = \cos x$: Тригонометрические функции синус и косинус определены для всех действительных чисел. Их графики (синусоида и косинусоида) - это непрерывные волнообразные линии. Они непрерывны на множестве всех действительных чисел.
• $y = \tan x$: Эта функция имеет разрывы в точках, где $\cos x = 0$, то есть в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках у графика вертикальные асимптоты. Значит, функция не является непрерывной на множестве всех действительных чисел.
• $y = \sqrt{x-2}$: Область определения этой функции задается неравенством $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Так как функция определена не для всех действительных чисел, она не является непрерывной на всем множестве действительных чисел.
• $y = \frac{1}{x^2}$: Эта функция не определена в точке $x=0$ (деление на ноль). В этой точке график имеет разрыв второго рода (вертикальную асимптоту). Значит, функция не является непрерывной на множестве всех действительных чисел.
• $y = \frac{3x}{x-2}$: Эта функция не определена в точке $x=2$, так как знаменатель обращается в ноль. В этой точке график имеет разрыв (вертикальную асимптоту). Значит, функция не является непрерывной на множестве всех действительных чисел.

Ответ: На множестве всех действительных чисел непрерывны функции $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$, $y = \sin x$, $y = \cos x$.

2) на области определения

Функция называется непрерывной на своей области определения, если она непрерывна в каждой точке этой области. Все элементарные функции, к которым относятся и все перечисленные в задании, по определению непрерывны на своей области определения. Это означает, что их графики являются сплошными линиями на тех промежутках, где они существуют.

Проверим для каждой функции:

• $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$, $y = \sin x$, $y = \cos x$: Их область определения - все действительные числа, и они на ней непрерывны.
• $y = \tan x$: Область определения $D(y) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. На этом множестве (состоящем из бесконечного числа интервалов) функция непрерывна.
• $y = \sqrt{x-2}$: Область определения $D(y) = [2, +\infty)$. На этом луче функция непрерывна.
• $y = \frac{1}{x^2}$: Область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. На объединении этих двух интервалов функция непрерывна.
• $y = \frac{3x}{x-2}$: Область определения $D(y) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$. На объединении этих двух интервалов функция непрерывна.

Таким образом, каждая из перечисленных функций непрерывна на своей области определения.

Ответ: На своей области определения непрерывны все заданные функции: $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$, $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \sqrt{x-2}$, $y = \frac{1}{x^2}$, $y = \frac{3x}{x-2}$.