Номер 37.16, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.16. Постройте график какой-либо функции $f(x)$, обладающей свойствами:

1) $ \lim_{x \to 2} f(x) = 4, f(2) = 4 $;

2) $ \lim_{x \to -1} f(x) = 3, f(-1) = 2 $;

3) $ \lim_{x \to 2} f(x) = 2, f(2) $ — не существует;

4) $ \lim_{x \to 0} f(x) = 2, \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 $.

1) Условие $\lim_{x\to2} f(x) = 4$ означает, что при приближении значения аргумента $x$ к числу 2 (как слева, так и справа), значения функции $f(x)$ стремятся к числу 4. На графике это означает, что ветви графика "сходятся" в точке с координатой $y=4$ при $x=2$.

Условие $f(2) = 4$ означает, что функция определена в точке $x=2$ и ее значение равно 4. На графике это соответствует закрашенной точке с координатами $(2, 4)$.

Поскольку предел функции в точке $x=2$ равен значению функции в этой же точке, функция является непрерывной в точке $x=2$. Самый простой пример такой функции — это постоянная функция $f(x) = 4$. Ее график — это прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 4)$. Эта линия непрерывна на всей числовой оси, и в любой ее точке, включая $x=2$, предел равен значению функции, то есть 4.

Ответ: Графиком может служить горизонтальная прямая $y=4$.

2) Условие $\lim_{x\to-1} f(x) = 3$ означает, что при приближении $x$ к -1, значения функции $f(x)$ стремятся к 3. На графике это означает, что кривая функции с обеих сторон приближается к точке $(-1, 3)$.

Условие $f(-1) = 2$ означает, что значение функции в точке $x=-1$ равно 2. На графике это — закрашенная точка с координатами $(-1, 2)$.

Так как предел функции в точке $x=-1$ не равен значению функции в этой точке ($3 \neq 2$), функция имеет в этой точке устранимый разрыв. Чтобы построить такой график, можно взять любую функцию, предел которой при $x \to -1$ равен 3 (например, $y=3$), и отдельно определить значение в точке $x=-1$.

Пример такой функции:

$f(x) = \begin{cases} 3, & \text{если } x \neq -1 \\ 2, & \text{если } x = -1 \end{cases} $

График этой функции представляет собой горизонтальную прямую $y=3$, из которой "выколота" точка с абсциссой -1 (то есть в точке $(-1, 3)$ находится пустое колечко), и отдельно отмеченную закрашенную точку $(-1, 2)$.

Ответ: График — горизонтальная прямая $y=3$ с "выколотой" точкой в $x=-1$, и закрашенная точка с координатами $(-1, 2)$.

3) Условие $\lim_{x\to2} f(x) = 2$ означает, что при приближении $x$ к 2, значения функции $f(x)$ стремятся к 2. На графике это означает, что кривая функции с обеих сторон приближается к точке с ординатой 2, то есть к точке $(2, 2)$.

Условие $f(2)$ — не существует, означает, что функция не определена в точке $x=2$. На графике в этой точке будет разрыв, а именно "выколотая" точка.

Мы имеем дело с устранимым разрывом в точке $x=2$, где предел существует, но сама функция не определена. Простейший пример — это функция, которая равна константе везде, кроме точки $x=2$.

Например, функция $f(x) = \frac{2(x-2)}{x-2}$. Эта функция равна 2 при всех $x \neq 2$, а в точке $x=2$ она не определена.

Ее график — это горизонтальная прямая $y=2$, на которой в точке с абсциссой $x=2$ находится "дырка" или "выколотая" точка с координатами $(2, 2)$.

Ответ: График — горизонтальная прямая $y=2$ с "выколотой" точкой $(2, 2)$.

4) Условие $\lim_{x\to0} f(x) = 2$ означает, что при приближении $x$ к 0, значения функции стремятся к 2. График функции подходит к точке $(0, 2)$. При этом функция в самой точке $x=0$ может быть не определена или иметь другое значение, но для простоты можно считать, что $f(0)=2$.

Условие $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ означает, что при неограниченном возрастании $x$ (при $x$, стремящемся к плюс бесконечности), значения функции стремятся к 0. На графике это означает, что ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to \infty$.

Нужно найти функцию, которая удовлетворяет обоим условиям. Подходящим примером может служить функция вида $f(x) = \frac{2}{ax^n+1}$ (где $n$ - четное число) или $f(x) = 2e^{-kx}$ (где $k>0$).

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{2}{x^2+1}$.

Проверим условия:

$\lim_{x\to0} \frac{2}{x^2+1} = \frac{2}{0^2+1} = 2$. Первое условие выполнено.

$\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^2+1} = 0$, так как знаменатель неограниченно растет, а числитель — константа. Второе условие выполнено.

График этой функции симметричен относительно оси ординат, имеет максимум в точке $(0, 2)$ и приближается к оси абсцисс ($y=0$) при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

Ответ: Графиком может служить кривая, заданная функцией $f(x) = \frac{2}{x^2+1}$. Эта кривая имеет "шапку" в точке $(0,2)$ и ось $Ox$ в качестве горизонтальной асимптоты.