Номер 37.19, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.19. Преобразуйте в сумму или разность произведение тригонометрических функций:

1) $\sin(2a) \cdot \cos(3a)$;

2) $\cos(4a) \cdot \cos(2a)$;

3) $\sin(5a) \cdot \sin(3a)$;

4) $\sin(2a) \cdot \sin(8a)$.

1) Для преобразования произведения $ \sin(2a) \cdot \cos(3a) $ в сумму или разность воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

В данном случае $ \alpha = 2a $ и $ \beta = 3a $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \sin(2a) \cos(3a) = \frac{1}{2}(\sin(2a + 3a) + \sin(2a - 3a)) = \frac{1}{2}(\sin(5a) + \sin(-a)) $.

Используя свойство нечетности синуса, $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем:

$ \frac{1}{2}(\sin(5a) - \sin(a)) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin(5a) - \sin(a)) $.

2) Для преобразования произведения $ \cos(4a) \cdot \cos(2a) $ в сумму или разность используем формулу произведения косинусов: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

В данном случае $ \alpha = 4a $ и $ \beta = 2a $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \cos(4a) \cos(2a) = \frac{1}{2}(\cos(4a - 2a) + \cos(4a + 2a)) = \frac{1}{2}(\cos(2a) + \cos(6a)) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos(2a) + \cos(6a)) $.

3) Для преобразования произведения $ \sin(5a) \cdot \sin(3a) $ в сумму или разность используем формулу произведения синусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

В данном случае $ \alpha = 5a $ и $ \beta = 3a $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \sin(5a) \sin(3a) = \frac{1}{2}(\cos(5a - 3a) - \cos(5a + 3a)) = \frac{1}{2}(\cos(2a) - \cos(8a)) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos(2a) - \cos(8a)) $.

4) Для преобразования произведения $ \sin(2a) \cdot \sin(8a) $ в сумму или разность воспользуемся той же формулой произведения синусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

В данном случае $ \alpha = 2a $ и $ \beta = 8a $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \sin(2a) \sin(8a) = \frac{1}{2}(\cos(2a - 8a) - \cos(2a + 8a)) = \frac{1}{2}(\cos(-6a) - \cos(10a)) $.

Используя свойство четности косинуса, $ \cos(-x) = \cos(x) $, получаем:

$ \frac{1}{2}(\cos(6a) - \cos(10a)) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos(6a) - \cos(10a)) $.