Вопросы, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В какой точке функция $y = \operatorname{tg}x$ имеет разрыв? Какого рода этот разрыв?

2. Какие элементарные функции имеют точки разрыва, а какие непрерывны?

1. В какой точке функция y = tgx имеет разрыв? Какого рода этот разрыв?

Функция $y = \operatorname{tg}x$ определяется как отношение $y = \frac{\sin x}{\cos x}$. Точки разрыва функции — это точки, в которых она не определена. Для тангенса это происходит, когда знаменатель дроби равен нулю.

Найдем точки, в которых $\cos x = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Следовательно, функция $y = \operatorname{tg}x$ имеет бесконечное множество точек разрыва.

Чтобы определить род разрыва, необходимо исследовать односторонние пределы в любой из точек разрыва, например, в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Предел слева: $\lim_{x \to (\pi/2)^-} \operatorname{tg}x = \lim_{x \to (\pi/2)^-} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{+0} = +\infty$. Когда $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$ слева, $\sin x$ стремится к 1, а $\cos x$ стремится к 0, оставаясь положительным.

Предел справа: $\lim_{x \to (\pi/2)^+} \operatorname{tg}x = \lim_{x \to (\pi/2)^+} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{-0} = -\infty$. Когда $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$ справа, $\sin x$ стремится к 1, а $\cos x$ стремится к 0, оставаясь отрицательным.

Поскольку хотя бы один из односторонних пределов в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$ равен бесконечности, разрыв в этой точке является разрывом второго рода (или бесконечным разрывом). Это справедливо для всех точек разрыва функции $y = \operatorname{tg}x$.

Ответ: Функция $y = \operatorname{tg}x$ имеет разрывы в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Все эти точки являются точками разрыва второго рода.

2. Какие элементарные функции имеют точки разрыва, а какие непрерывны?

Важнейшее свойство элементарных функций заключается в том, что они непрерывны на всей своей области определения. Таким образом, точки разрыва у элементарной функции могут быть только в тех точках, где она не определена (в граничных точках области определения).

Элементарные функции, непрерывные на всей числовой оси ($\mathbb{R}$):

• Многочлены (полиномы), например, $y = x^2 - 7x + 3$.

• Показательная функция $y = a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$).

• Тригонометрические функции $y = \sin x$ и $y = \cos x$.

• Обратные тригонометрические функции $y = \operatorname{arctg}x$ и $y = \operatorname{arcctg}x$.

Элементарные функции, которые могут иметь точки разрыва:

• Дробно-рациональные функции вида $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$. Они имеют разрывы в точках, где знаменатель $Q(x)=0$. Например, $y = \frac{1}{x-5}$ имеет разрыв в точке $x=5$.

• Тригонометрические функции $y = \operatorname{tg}x, y = \operatorname{ctg}x, y=\sec x, y = \csc x$. Они имеют разрывы в точках, где их знаменатель в определении ($\cos x$ или $\sin x$) равен нулю.

• Логарифмическая функция $y = \log_a x$. Она определена и непрерывна только при $x > 0$. В точке $x=0$ имеет бесконечный разрыв.

• Степенная функция $y = x^{\alpha}$. При $\alpha < 0$ (например, $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$) имеет разрыв в $x=0$.

• Обратные тригонометрические функции $y = \arcsin x$ и $y = \arccos x$. Они определены и непрерывны только на отрезке $[-1, 1]$.

Ответ: Непрерывными на всей числовой прямой являются многочлены, показательные функции, синус, косинус, арктангенс и арккотангенс. Точки разрыва имеют дробно-рациональные функции (в нулях знаменателя), тангенс, котангенс и другие производные от них тригонометрические функции, а также логарифмические и степенные функции в граничных точках их областей определения.