Номер 38.3, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.3. Постройте график функции $y = f(x)$. Выясните, является ли функция непрерывной в точке $x_0 = 1$:

1)

$y = \begin{cases} 1 + 2x \text{ при } x \ge 1, \\ 4x - 1 \text{ при } x < 1; \end{cases}$

2)

$y = \begin{cases} 5x \text{ при } x \ge 1, \\ 3x - 1 \text{ при } x < 1; \end{cases}$

3)

$y = \begin{cases} 8 - 7x \text{ при } x \ge 1, \\ x + 3 \text{ при } x < 1. \end{cases}$

1) Дана функция $y = \begin{cases} 1 + 2x, & \text{при } x \ge 1 \\ 4x - 1, & \text{при } x < 1 \end{cases}$.

Построение графика:

График данной функции состоит из двух лучей, так как каждая из частей функции является линейной.

1. На промежутке $x \ge 1$ строим график функции $y = 1 + 2x$. Это луч, начинающийся в точке с абсциссой $x=1$.

Найдем координаты начальной точки. При $x=1$, $y = 1 + 2 \cdot 1 = 3$. Точка $(1; 3)$ принадлежит графику, поэтому на чертеже она будет закрашенной.

Для построения луча найдем еще одну точку, взяв любое значение $x > 1$. Например, при $x=2$, $y = 1 + 2 \cdot 2 = 5$.

Таким образом, первая часть графика — это луч, выходящий из точки $(1; 3)$ и проходящий через точку $(2; 5)$.

2. На промежутке $x < 1$ строим график функции $y = 4x - 1$. Это луч, который заканчивается в точке с абсциссой $x=1$.

Найдем координаты конечной точки. Так как неравенство строгое ($x<1$), точка не будет принадлежать графику, и на чертеже она будет выколотой. При $x=1$, $y = 4 \cdot 1 - 1 = 3$. Координаты выколотой точки — $(1; 3)$.

Для построения луча найдем еще одну точку, взяв любое значение $x < 1$. Например, при $x=0$, $y = 4 \cdot 0 - 1 = -1$.

Таким образом, вторая часть графика — это луч, приходящий из области меньших $x$ в точку $(1; 3)$ и проходящий через точку $(0; -1)$.

Поскольку оба луча "сходятся" в одной и той же точке $(1; 3)$, график функции является сплошной линией.

Проверка непрерывности в точке $x_0=1$:

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Это означает, что левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции должны быть равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$. Согласно определению функции, при $x=1$ мы используем формулу $y = 1 + 2x$.

$f(1) = 1 + 2 \cdot 1 = 3$.

2. Найдем левосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 слева, т.е. $x < 1$). Используем формулу $y = 4x - 1$.

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (4x-1) = 4 \cdot 1 - 1 = 3$.

3. Найдем правосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 справа, т.е. $x > 1$). Используем формулу $y = 1 + 2x$.

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (1+2x) = 1 + 2 \cdot 1 = 3$.

Все три значения совпали: $f(1) = 3$, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0 = 1$.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_0=1$.

2) Дана функция $y = \begin{cases} 5x, & \text{при } x \ge 1 \\ 3x - 1, & \text{при } x < 1 \end{cases}$.

Построение графика:

1. На промежутке $x \ge 1$ строим график функции $y = 5x$. Это луч, начинающийся в точке с абсциссой $x=1$.

При $x=1$, $y = 5 \cdot 1 = 5$. Точка $(1; 5)$ — закрашенная.

При $x=2$, $y = 5 \cdot 2 = 10$.

Первая часть графика — луч, выходящий из точки $(1; 5)$ и проходящий через точку $(2; 10)$.

2. На промежутке $x < 1$ строим график функции $y = 3x - 1$. Это луч, заканчивающийся в точке с абсциссой $x=1$.

При $x=1$, $y = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Точка $(1; 2)$ — выколотая.

При $x=0$, $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$.

Вторая часть графика — луч, приходящий в точку $(1; 2)$ и проходящий через точку $(0; -1)$.

В точке $x=1$ происходит "разрыв" графика: один луч заканчивается в точке $(1; 2)$, а другой начинается в точке $(1; 5)$.

Проверка непрерывности в точке $x_0=1$:

Проверим выполнение условия непрерывности $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$. Используем формулу $y = 5x$.

$f(1) = 5 \cdot 1 = 5$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x < 1$). Используем формулу $y = 3x - 1$.

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x-1) = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x > 1$). Используем формулу $y = 5x$.

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (5x) = 5 \cdot 1 = 5$.

Левосторонний предел (2) не равен правостороннему пределу (5). Это означает, что общий предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует. Условие непрерывности не выполняется. Функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0=1$.

3) Дана функция $y = \begin{cases} 8 - 7x, & \text{при } x \ge 1 \\ x + 3, & \text{при } x < 1 \end{cases}$.

Построение графика:

1. На промежутке $x \ge 1$ строим график функции $y = 8 - 7x$. Это луч, начинающийся в точке с абсциссой $x=1$.

При $x=1$, $y = 8 - 7 \cdot 1 = 1$. Точка $(1; 1)$ — закрашенная.

При $x=2$, $y = 8 - 7 \cdot 2 = -6$.

Первая часть графика — луч, выходящий из точки $(1; 1)$ и проходящий через точку $(2; -6)$.

2. На промежутке $x < 1$ строим график функции $y = x + 3$. Это луч, заканчивающийся в точке с абсциссой $x=1$.

При $x=1$, $y = 1 + 3 = 4$. Точка $(1; 4)$ — выколотая.

При $x=0$, $y = 0 + 3 = 3$.

Вторая часть графика — луч, приходящий в точку $(1; 4)$ и проходящий через точку $(0; 3)$.

В точке $x=1$ также происходит разрыв графика: один луч начинается в точке $(1; 1)$, а другой заканчивается в точке $(1; 4)$.

Проверка непрерывности в точке $x_0=1$:

Проверим выполнение условия непрерывности $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$. Используем формулу $y = 8 - 7x$.

$f(1) = 8 - 7 \cdot 1 = 1$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x < 1$). Используем формулу $y = x + 3$.

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+3) = 1 + 3 = 4$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x > 1$). Используем формулу $y = 8 - 7x$.

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (8 - 7x) = 8 - 7 \cdot 1 = 1$.

Левосторонний предел (4) не равен правостороннему пределу (1). Общий предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует, и функция не является непрерывной.

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0=1$.