Номер 38.8, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.8. Постройте график функции и найдите ее точки разрыва:

1) $f(x) = \lfloor x \rfloor$;

2) $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$;

3) $f(x) = \text{sign}x$.

1) f(x)=[x];

Функция $f(x) = [x]$ (целая часть числа, или антье) сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, которое не превосходит $x$.

Построение графика: График этой функции является ступенчатым. Он состоит из горизонтальных отрезков единичной длины.

• При $x \in [-2, -1)$, $f(x) = -2$.
• При $x \in [-1, 0)$, $f(x) = -1$.
• При $x \in [0, 1)$, $f(x) = 0$.
• При $x \in [1, 2)$, $f(x) = 1$.
• При $x \in [2, 3)$, $f(x) = 2$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in [n, n+1)$, то $f(x) = n$. Левый конец каждого такого отрезка (точка $(n, n)$) принадлежит графику, а правый конец (точка $(n+1, n)$) — не принадлежит (изображается выколотой точкой).

Точки разрыва: Функция непрерывна на каждом интервале $(n, n+1)$, где $n$ — целое число. Разрывы могут происходить только в целочисленных точках. Рассмотрим произвольную целочисленную точку $x_0 = n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем односторонние пределы в этой точке:

• Предел слева: $\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} [x] = n-1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} [x] = n$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы существуют, но не равны друг другу ($\lim_{x \to n^-} f(x) \neq \lim_{x \to n^+} f(x)$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в каждой целочисленной точке. Величина скачка равна $n - (n-1) = 1$.

Ответ: Точками разрыва являются все целые числа ($x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$).

2) f(x) = x - [x];

Функция $f(x) = x - [x]$ (дробная часть числа) сопоставляет каждому действительному числу $x$ разность между этим числом и его целой частью. Часто эту функцию обозначают как $\{x\}$.

Построение графика: Рассмотрим поведение функции на разных интервалах:

• При $x \in [0, 1)$, $[x] = 0$, следовательно $f(x) = x - 0 = x$.
• При $x \in [1, 2)$, $[x] = 1$, следовательно $f(x) = x - 1$.
• При $x \in [-1, 0)$, $[x] = -1$, следовательно $f(x) = x - (-1) = x+1$.

Функция является периодической с периодом $T=1$, так как $f(x+1) = (x+1) - [x+1] = (x+1) - ([x]+1) = x - [x] = f(x)$. График функции представляет собой "пилу". Он состоит из параллельных отрезков с угловым коэффициентом 1. На каждом интервале $[n, n+1)$ график совпадает с отрезком прямой $y = x-n$. Левая точка $(n, 0)$ принадлежит графику, а правая $(n+1, 1)$ — нет.

Точки разрыва: Функция непрерывна на каждом интервале $(n, n+1)$, где $n$ — целое число. Разрывы могут происходить только в целочисленных точках. Рассмотрим произвольную целочисленную точку $x_0 = n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем односторонние пределы:

• Предел слева: $\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} (x - [x])$. Когда $x \to n^-$, $[x] = n-1$, поэтому предел равен $\lim_{x \to n^-} (x - (n-1)) = n - (n-1) = 1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} (x - [x])$. Когда $x \to n^+$, $[x] = n$, поэтому предел равен $\lim_{x \to n^+} (x - n) = n - n = 0$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы существуют, но не равны друг другу, функция имеет разрыв первого рода (скачок) в каждой целочисленной точке.

Ответ: Точками разрыва являются все целые числа ($x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$).

3) f(x) = signx.

Функция $f(x) = \text{sign}(x)$ (сигнум или знак числа) определяется следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Построение графика:

• Для всех $x > 0$, график функции — это открытый луч $y=1$, идущий вправо от оси ординат.
• Для всех $x < 0$, график функции — это открытый луч $y=-1$, идущий влево от оси ординат.
• При $x = 0$, значение функции $f(0)=0$. Это точка $(0,0)$.

Таким образом, график состоит из двух лучей и одной точки в начале координат.

Точки разрыва: Функция постоянна (и, следовательно, непрерывна) на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$. Единственная точка, в которой может быть разрыв, — это $x=0$. Найдем односторонние пределы в точке $x_0 = 0$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \text{sign}(x) = -1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \text{sign}(x) = 1$.

Левосторонний и правосторонний пределы не равны. Значение функции в точке $f(0)=0$ не совпадает ни с одним из них. Это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $1 - (-1) = 2$.

Ответ: Точкой разрыва является $x=0$.