Номер 38.12, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.12. Найдите наименьший положительный период и множество значений функции:

1) $f(x) = 3\cos2x;$

2) $f(x) = 2\sin4x;$

3) $f(x) = \operatorname{tg}\frac{x}{2};$

4) $f(x) = 2\{x\}.$

1) f(x) = 3cos2x

Чтобы найти наименьший положительный период функции вида $y = A\cos(kx+b)$, используется формула $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае функция $f(x) = 3\cos(2x)$, где коэффициент $k=2$. Наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Чтобы найти множество значений функции, определим диапазон для $\cos(2x)$. Известно, что множество значений функции косинус – это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Умножим все части неравенства на 3: $3 \cdot (-1) \le 3\cos(2x) \le 3 \cdot 1$. Получаем $-3 \le f(x) \le 3$. Следовательно, множество значений функции – это отрезок $[-3; 3]$.

Ответ: наименьший положительный период $T = \pi$; множество значений $E(f) = [-3; 3]$.

2) f(x) = 2sin4x

Чтобы найти наименьший положительный период функции вида $y = A\sin(kx+b)$, используется формула $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае функция $f(x) = 2\sin(4x)$, где коэффициент $k=4$. Наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$.

Чтобы найти множество значений функции, определим диапазон для $\sin(4x)$. Множество значений функции синус – это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin(4x) \le 1$. Умножим все части неравенства на 2: $2 \cdot (-1) \le 2\sin(4x) \le 2 \cdot 1$. Получаем $-2 \le f(x) \le 2$. Следовательно, множество значений функции – это отрезок $[-2; 2]$.

Ответ: наименьший положительный период $T = \frac{\pi}{2}$; множество значений $E(f) = [-2; 2]$.

3) f(x) = tg(x/2)

Чтобы найти наименьший положительный период функции вида $y = A\tan(kx+b)$, используется формула $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае функция $f(x) = \tan(\frac{x}{2})$, где коэффициент $k=\frac{1}{2}$. Наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = 2\pi$.

Множество значений функции тангенс – это все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$. Преобразование аргумента $x \rightarrow \frac{x}{2}$ не меняет множество значений функции. Следовательно, множество значений функции $f(x) = \tan(\frac{x}{2})$ – это $(-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$.

Ответ: наименьший положительный период $T = 2\pi$; множество значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) f(x) = 2{x}

Здесь $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$, определяемую как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ – целая часть числа $x$. Функция $g(x) = \{x\}$ является периодической. Ее наименьший положительный период равен 1, так как $\{x+1\} = (x+1) - \lfloor x+1 \rfloor = x+1 - (\lfloor x \rfloor + 1) = x - \lfloor x \rfloor = \{x\}$. Умножение на константу 2 не влияет на период функции. Следовательно, наименьший положительный период функции $f(x) = 2\{x\}$ также равен 1.

Чтобы найти множество значений функции, определим диапазон для $\{x\}$. По определению дробной части, $0 \le \{x\} < 1$. Умножим все части этого двойного неравенства на 2: $2 \cdot 0 \le 2\{x\} < 2 \cdot 1$. Получаем $0 \le f(x) < 2$. Следовательно, множество значений функции – это полуинтервал $[0; 2)$.

Ответ: наименьший положительный период $T = 1$; множество значений $E(f) = [0; 2)$.