Номер 38.6, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.6. Приведите пример функции, имеющей разрыв в точке:

1) $x_0 = 2$ и $x_0 = 4$;

2) $x_0 = -3$ и $x_0 = 0$;

3) $x_0 = -1$ и $x_0 = 2$.

1) $x_0 = 2$ и $x_0 = 4$

Чтобы функция имела разрыв в заданных точках, можно построить дробно-рациональную функцию. Точки разрыва такой функции возникают там, где ее знаменатель обращается в ноль (при условии, что числитель в этих точках в ноль не обращается, иначе может возникнуть устранимый разрыв).

Чтобы знаменатель обращался в ноль в точках $x=2$ и $x=4$, он должен содержать множители $(x-2)$ и $(x-4)$. В качестве числителя можно взять любое число, не равное нулю, например, 1.

Таким образом, примером такой функции может быть:$f(x) = \frac{1}{(x-2)(x-4)}$.

Эта функция не определена в точках, где ее знаменатель равен нулю, то есть при $(x-2)(x-4) = 0$. Решениями этого уравнения являются $x=2$ и $x=4$. В этих точках функция имеет бесконечные разрывы, так как ее предел при приближении к этим точкам равен бесконечности.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{(x-2)(x-4)}$.

2) $x_0 = -3$ и $x_0 = 0$

Поступаем аналогично предыдущему пункту. Нам нужно, чтобы знаменатель функции обращался в ноль в точках $x=-3$ и $x=0$.

Для этого знаменатель должен содержать множители $(x - (-3))$ и $(x-0)$, то есть $(x+3)$ и $x$. Снова выберем числитель равным 1.

Пример функции:$f(x) = \frac{1}{x(x+3)}$.

Область определения этой функции — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель $x(x+3)$ равен нулю. Это происходит при $x=0$ и $x=-3$. Следовательно, в этих точках функция имеет разрывы.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x(x+3)}$.

3) $x_0 = -1$ и $x_0 = 2$

Для того чтобы функция имела разрывы в точках $x=-1$ и $x=2$, ее знаменатель должен обращаться в ноль в этих точках.

Знаменатель должен содержать множители $(x - (-1))$ и $(x-2)$, то есть $(x+1)$ и $(x-2)$. В качестве числителя снова используем 1.

Пример искомой функции:$f(x) = \frac{1}{(x+1)(x-2)}$.

Данная функция имеет разрывы в точках, где знаменатель равен нулю. Уравнение $(x+1)(x-2)=0$ имеет корни $x=-1$ и $x=2$. Именно в этих точках функция терпит разрыв.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{(x+1)(x-2)}$.