Номер 38.9, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.9. Постройте график функции $y = f(x)$. Исследуйте функцию на непрерывность:

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 2 \\ |x| + 1 & \text{при } x > 2 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{при } x \le 0 \\ |x| - 1 & \text{при } x > 0 \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} x^2 - x & \text{при } x \le 2 \\ 4 - x^2 & \text{при } x > 2 \end{cases}$

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 2, \\ |x| + 1 & \text{при } x > 2. \end{cases}$

Для построения графика функции рассмотрим ее на двух интервалах.

При $x \le 2$, функция имеет вид $y = x^2 - 1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -1)$. Найдем несколько ключевых точек на этом участке:

$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$

$f(0) = 0^2 - 1 = -1$ (вершина)

$f(1) = 1^2 - 1 = 0$

$f(2) = 2^2 - 1 = 3$. Эта точка $(2, 3)$ является конечной для данного участка параболы и принадлежит графику (закрашенная точка).

При $x > 2$, функция имеет вид $y = |x| + 1$. Поскольку на этом интервале $x$ всегда положителен, $|x| = x$, и функция упрощается до $y = x + 1$. Графиком является луч, выходящий из точки, соответствующей $x=2$. Найдем "начальную" точку луча (она будет выколотой, так как неравенство строгое): при $x=2$, $y = 2 + 1 = 3$. Таким образом, луч начинается в точке $(2, 3)$. Возьмем еще одну точку для построения, например, $f(3) = 3 + 1 = 4$.

График функции состоит из части параболы $y=x^2-1$ на интервале $(-\infty, 2]$ и луча $y=x+1$ на интервале $(2, \infty)$.

Исследование на непрерывность:

Функция определена и непрерывна на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$, так как на них она задана элементарными непрерывными функциями. Единственная точка, где непрерывность может нарушаться, это $x=2$.

Проверим условия непрерывности в точке $x=2$:

1. Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 - 1 = 3$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (|x| + 1) = |2| + 1 = 3$.

Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=2$ равны ($3 = 3 = 3$), функция непрерывна в этой точке.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси $x \in (-\infty, +\infty)$.

2) $f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{при } x \le 0, \\ |x| - 1 & \text{при } x > 0. \end{cases}$

Построим график, рассмотрев два интервала.

При $x \le 0$, функция имеет вид $y = x^2 - x - 1$. Это парабола с ветвями вверх. Координата x вершины параболы $x_v = -(-1)/(2 \cdot 1) = 0.5$, что не входит в данный интервал. Найдем несколько точек:

$f(-1) = (-1)^2 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$

$f(0) = 0^2 - 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ является конечной для этого участка и принадлежит графику (закрашенная).

При $x > 0$, функция имеет вид $y = |x| - 1$. Так как $x > 0$, то $|x| = x$, и функция становится $y = x - 1$. Это луч, начинающийся из точки, соответствующей $x=0$. Найдем "начальную" точку: при $x=0$, $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ будет выколотой. Для построения луча возьмем еще одну точку: $f(1) = 1 - 1 = 0$.

График состоит из части параболы $y=x^2-x-1$ на $(-\infty, 0]$ и луча $y=x-1$ на $(0, \infty)$.

Исследование на непрерывность:

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$. Проверим точку "стыка" $x=0$.

1. Значение функции: $f(0) = 0^2 - 0 - 1 = -1$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 - x - 1) = 0^2 - 0 - 1 = -1$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (|x| - 1) = |0| - 1 = -1$.

Все три значения равны, следовательно, функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси $x \in (-\infty, +\infty)$.

3) $f(x) = \begin{cases} x^2 - x & \text{при } x \le 2, \\ 4 - x^2 & \text{при } x > 2. \end{cases}$

Построим график функции по частям.

При $x \le 2$, функция имеет вид $y = x^2 - x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_v = -(-1)/(2 \cdot 1) = 0.5$, $y_v = (0.5)^2 - 0.5 = -0.25$. Точки пересечения с осью Ох: $x(x-1)=0$, т.е. $x=0$ и $x=1$. Ключевая точка на границе: $f(2) = 2^2 - 2 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику (закрашенная).

При $x > 2$, функция имеет вид $y = 4 - x^2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 4)$. Рассмотрим ее часть при $x>2$. Найдем предел справа в граничной точке $x=2$: $\lim_{x \to 2^+} (4 - x^2) = 4 - 2^2 = 0$. Таким образом, этот кусок графика начинается из выколотой точки $(2, 0)$. Возьмем еще одну точку: $f(3) = 4 - 3^2 = -5$.

График состоит из части параболы $y=x^2-x$ на $(-\infty, 2]$ и части параболы $y=4-x^2$ на $(2, \infty)$.

Исследование на непрерывность:

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$. Проверим точку $x=2$.

1. Значение функции: $f(2) = 2^2 - 2 = 2$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - x) = 2^2 - 2 = 2$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (4 - x^2) = 4 - 2^2 = 0$.

Так как левосторонний предел ($2$) не равен правостороннему пределу ($0$), функция имеет разрыв в точке $x=2$. Поскольку оба односторонних предела существуют и конечны, это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $\lim_{x \to 2^+} f(x) - \lim_{x \to 2^-} f(x) = 0 - 2 = -2$.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$. В точке $x=2$ функция терпит разрыв первого рода (скачок).