Номер 38.4, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.4. Постройте схематически график функции, имеющей разрыв в точке:

1) $x_0 = 3$; 2) $x_0 = -1,5$; 3) $x_0 = 4$; 4) $x_0 = -0,5$.

Для построения схематического графика функции, имеющей разрыв в заданной точке $x_0$, можно использовать функцию вида $y = \frac{1}{x-x_0}$. Такая функция имеет бесконечный разрыв (вертикальную асимптоту) в точке, где знаменатель равен нулю, то есть при $x = x_0$.

1) $x_0 = 3$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x-3}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=3$. В точке $x_0 = 3$ функция имеет разрыв. Для построения схематического графика начертим систему координат. Проведем пунктирной линией вертикальную асимптоту $x=3$. График функции — гипербола. При приближении $x$ к 3 справа ($x \to 3^+$), значения $y$ стремятся к $+\infty$. При приближении $x$ к 3 слева ($x \to 3^-$), значения $y$ стремятся к $-\infty$. Горизонтальной асимптотой является ось абсцисс ($y=0$). Справа от асимптоты ($x>3$) ветвь гиперболы расположена в верхней полуплоскости, а слева ($x<3$) — в нижней.

Ответ: Примером функции является $y=\frac{1}{x-3}$. Её график — гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$.

2) $x_0 = -1,5$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x-(-1,5)} = \frac{1}{x+1,5}$. Функция не определена и имеет разрыв в точке $x_0 = -1,5$. Для построения графика проведем вертикальную асимптоту $x=-1,5$. При $x \to -1,5^+$, функция стремится к $+\infty$. При $x \to -1,5^-$, функция стремится к $-\infty$. Горизонтальная асимптота — $y=0$. Ветви гиперболы расположены справа вверху и слева внизу относительно точки пересечения асимптот.

Ответ: Примером функции является $y=\frac{1}{x+1,5}$. Её график — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-1,5$.

3) $x_0 = 4$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x-4}$. Функция имеет разрыв в точке $x_0 = 4$. Схематический график — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=4$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. При $x \to 4^+$, $y \to +\infty$. При $x \to 4^-$, $y \to -\infty$. Ветвь гиперболы справа от асимптоты находится в верхней полуплоскости, а слева — в нижней.

Ответ: Примером функции является $y=\frac{1}{x-4}$. Её график — гипербола с вертикальной асимптотой $x=4$.

4) $x_0 = -0,5$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x-(-0,5)} = \frac{1}{x+0,5}$. Функция имеет разрыв в точке $x_0 = -0,5$. Схематический график — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-0,5$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. При $x \to -0,5^+$, $y \to +\infty$. При $x \to -0,5^-$, $y \to -\infty$. Ветви гиперболы расположены справа вверху и слева внизу относительно точки пересечения асимптот.

Ответ: Примером функции является $y=\frac{1}{x+0,5}$. Её график — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-0,5$.