Номер 38.10, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.10. Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график:

1) $f(x) = \begin{cases} x-1, & x \le 0, \\ x^2-5, & 0 < x \le 3, \\ 4, & x > 3; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 2-x, & x \le 1, \\ x^2-6, & 1 < x \le 3, \\ x, & x > 3; \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 0, \\ 2x-2, & 0 < x \le 2, \\ 2, & x > 2; \end{cases}$

4) $f(x) = \begin{cases} 3x, & x \le -1, \\ 2x-x^2, & -1 < x \le 2, \\ 0, & x > 2; \end{cases}$

5) $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \le -1, \\ x^2-3, & -1 < x \le 3, \\ 3+x, & x > 3; \end{cases}$

6) $f(x) = \begin{cases} 1-2x-x^2, & x \le -1, \\ x^2-5, & -1 < x \le 3, \\ 1-2x, & x > 3. \end{cases}$

1) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} x-1, & x \le 0 \\ x^2-5, & 0 < x \le 3 \\ 4, & x > 3 \end{cases} $.

Исследование на непрерывность:

Область определения функции - все действительные числа, $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

Функция является элементарной на каждом из интервалов $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$, следовательно, она непрерывна на них. Исследуем непрерывность в точках "стыка" $x=0$ и $x=3$.

В точке $x=0$:

Вычислим односторонние пределы и значение функции:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} (x-1) = 0-1 = -1 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} (x^2-5) = 0^2-5 = -5 $.

Значение функции: $ f(0) = 0-1 = -1 $.

Так как левосторонний и правосторонний пределы не равны ($ -1 \neq -5 $), в точке $ x=0 $ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=3$:

Вычислим односторонние пределы и значение функции:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^-} (x^2-5) = 3^2-5 = 9-5 = 4 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^+} f(x) = \lim_{x\to 3^+} 4 = 4 $.

Значение функции: $ f(3) = 3^2-5 = 4 $.

Так как $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^+} f(x) = f(3) = 4 $, в точке $ x=3 $ функция непрерывна.

Построение графика:

1. На интервале $ (-\infty, 0] $ строим график функции $ y = x-1 $. Это луч, проходящий через точки $(-2, -3)$, $(-1, -2)$ и заканчивающийся в точке $(0, -1)$ (точка закрашенная).

2. На интервале $ (0, 3] $ строим график функции $ y = x^2-5 $. Это часть параболы с вершиной в $(0, -5)$. Начальная точка $(0, -5)$ выколота, конечная точка $(3, 4)$ закрашена.

3. На интервале $ (3, +\infty) $ строим график функции $ y = 4 $. Это горизонтальный луч, начинающийся из точки $(3, 4)$.

Ответ: Функция непрерывна на $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $. В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

2) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} 2-x, & x \le 1 \\ x^2-6, & 1 < x < 3 \\ x, & x > 3 \end{cases} $.

Исследование на непрерывность:

Область определения функции $ D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) $, так как функция не определена в точке $x=3$.

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, +\infty)$. Исследуем точки $x=1$ и $x=3$.

В точке $x=1$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} (2-x) = 2-1 = 1 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} (x^2-6) = 1^2-6 = -5 $.

Значение функции: $ f(1) = 2-1 = 1 $.

Так как $ \lim_{x\to 1^-} f(x) \neq \lim_{x\to 1^+} f(x) $ ($ 1 \neq -5 $), в точке $ x=1 $ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=3$:

Функция не определена в этой точке, следовательно, она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы, чтобы классифицировать тип разрыва.

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^-} (x^2-6) = 3^2-6 = 3 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^+} f(x) = \lim_{x\to 3^+} x = 3 $.

Так как односторонние пределы существуют, конечны и равны, в точке $ x=3 $ функция имеет устранимый разрыв.

Построение графика:

1. На интервале $ (-\infty, 1] $ строим график $ y = 2-x $. Это луч, проходящий через $(0, 2)$ и заканчивающийся в $(1, 1)$ (точка закрашенная).

2. На интервале $ (1, 3) $ строим график $ y = x^2-6 $. Это часть параболы с вершиной в $(0,-6)$. График начинается в точке $(1, -5)$ (выколота) и заканчивается в точке $(3, 3)$ (выколота).

3. На интервале $ (3, +\infty) $ строим график $ y = x $. Это луч, начинающийся из точки $(3, 3)$ (выколота) и проходящий через $(4, 4)$.

Ответ: Функция непрерывна на $ x \in (-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty) $. В точке $x=1$ разрыв первого рода (скачок), в точке $x=3$ — устранимый разрыв.

3) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ 2x-2, & 0 < x \le 2 \\ 2, & x > 2 \end{cases} $.

Исследование на непрерывность:

Область определения $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Исследуем точки $x=0$ и $x=2$.

В точке $x=0$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} x^2 = 0 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} (2x-2) = -2 $.

Значение функции: $ f(0) = 0^2 = 0 $.

Так как $ \lim_{x\to 0^-} f(x) \neq \lim_{x\to 0^+} f(x) $ ($ 0 \neq -2 $), в точке $ x=0 $ разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=2$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-} (2x-2) = 2(2)-2 = 2 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} 2 = 2 $.

Значение функции: $ f(2) = 2(2)-2 = 2 $.

Так как $ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2) = 2 $, в точке $ x=2 $ функция непрерывна.

Построение графика:

1. На $ (-\infty, 0] $ строим график $ y = x^2 $. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$. Точка $(0,0)$ закрашена.

2. На $ (0, 2] $ строим график $ y = 2x-2 $. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -2)$ (выколота) и $(2, 2)$ (закрашена).

3. На $ (2, +\infty) $ строим график $ y = 2 $. Это горизонтальный луч, выходящий из точки $(2, 2)$.

Ответ: Функция непрерывна на $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $. В точке $x=0$ разрыв первого рода (скачок).

4) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} 3x, & x \le -1 \\ 2x-x^2, & -1 < x \le 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases} $. (Интервалы взяты в предположении, что функция определена на всей числовой оси).

Исследование на непрерывность:

Область определения $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$ и $(2, +\infty)$. Исследуем точки $x=-1$ и $x=2$.

В точке $x=-1$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^-} (3x) = -3 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^+} f(x) = \lim_{x\to -1^+} (2x-x^2) = 2(-1)-(-1)^2 = -2-1 = -3 $.

Значение функции: $ f(-1) = 3(-1) = -3 $.

Так как $ \lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^+} f(x) = f(-1) = -3 $, в точке $ x=-1 $ функция непрерывна.

В точке $x=2$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-} (2x-x^2) = 2(2)-2^2 = 4-4 = 0 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} 0 = 0 $.

Значение функции: $ f(2) = 2(2)-2^2 = 0 $.

Так как $ \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2) = 0 $, в точке $ x=2 $ функция непрерывна.

Построение графика:

1. На $ (-\infty, -1] $ строим график $ y = 3x $. Это луч, проходящий через $(-2, -6)$ и заканчивающийся в $(-1, -3)$ (точка закрашена).

2. На $ (-1, 2] $ строим график $ y = 2x-x^2 = -(x-1)^2+1 $. Это часть параболы с вершиной в $(1, 1)$, ветвями вниз. Начинается в $(-1, -3)$ (выколота), заканчивается в $(2, 0)$ (закрашена).

3. На $ (2, +\infty) $ строим график $ y = 0 $. Это луч, совпадающий с положительной частью оси Ox, начинающийся от точки $(2, 0)$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси $ (-\infty, +\infty) $.

5) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \le -1 \\ x^2-3, & -1 < x \le 3 \\ 3+x, & x > 3 \end{cases} $.

Исследование на непрерывность:

Область определения $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ и $(3, +\infty)$. Исследуем точки $x=-1$ и $x=3$.

В точке $x=-1$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^-} (x^2+1) = (-1)^2+1 = 2 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^+} f(x) = \lim_{x\to -1^+} (x^2-3) = (-1)^2-3 = -2 $.

Значение функции: $ f(-1) = (-1)^2+1 = 2 $.

Так как $ \lim_{x\to -1^-} f(x) \neq \lim_{x\to -1^+} f(x) $ ($ 2 \neq -2 $), в точке $ x=-1 $ разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=3$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^-} (x^2-3) = 3^2-3 = 6 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^+} f(x) = \lim_{x\to 3^+} (3+x) = 3+3 = 6 $.

Значение функции: $ f(3) = 3^2-3 = 6 $.

Так как $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^+} f(x) = f(3) = 6 $, в точке $ x=3 $ функция непрерывна.

Построение графика:

1. На $ (-\infty, -1] $ строим график $ y = x^2+1 $. Это левая часть параболы с вершиной в $(0, 1)$, заканчивающаяся в точке $(-1, 2)$ (закрашена).

2. На $ (-1, 3] $ строим график $ y = x^2-3 $. Это часть параболы с вершиной в $(0, -3)$. Начинается в $(-1, -2)$ (выколота), заканчивается в $(3, 6)$ (закрашена).

3. На $ (3, +\infty) $ строим график $ y = 3+x $. Это луч, выходящий из точки $(3, 6)$ и проходящий через $(4, 7)$.

Ответ: Функция непрерывна на $ x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) $. В точке $x=-1$ разрыв первого рода (скачок).

6) Дана функция $ f(x) = \begin{cases} 1-2x-x^2, & x \le -1 \\ x^2-5, & -1 < x \le 3 \\ 1-2x, & x > 3 \end{cases} $. (Интервалы взяты в предположении, что функция определена на всей числовой оси).

Исследование на непрерывность:

Область определения $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ и $(3, +\infty)$. Исследуем точки $x=-1$ и $x=3$.

В точке $x=-1$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^-} (1-2x-x^2) = 1-2(-1)-(-1)^2 = 1+2-1=2 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to -1^+} f(x) = \lim_{x\to -1^+} (x^2-5) = (-1)^2-5 = 1-5 = -4 $.

Значение функции: $ f(-1) = 2 $.

Так как $ \lim_{x\to -1^-} f(x) \neq \lim_{x\to -1^+} f(x) $ ($ 2 \neq -4 $), в точке $ x=-1 $ разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=3$:

Левосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^-} (x^2-5) = 3^2-5 = 4 $.

Правосторонний предел: $ \lim_{x\to 3^+} f(x) = \lim_{x\to 3^+} (1-2x) = 1-2(3) = -5 $.

Значение функции: $ f(3) = 3^2-5 = 4 $.

Так как $ \lim_{x\to 3^-} f(x) \neq \lim_{x\to 3^+} f(x) $ ($ 4 \neq -5 $), в точке $ x=3 $ разрыв первого рода (скачок).

Построение графика:

1. На $ (-\infty, -1] $ строим график $ y = -x^2-2x+1 = -(x+1)^2+2 $. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(-1, 2)$ (закрашена).

2. На $ (-1, 3] $ строим график $ y = x^2-5 $. Это часть параболы с вершиной в $(0, -5)$. Начинается в $(-1, -4)$ (выколота), заканчивается в $(3, 4)$ (закрашена).

3. На $ (3, +\infty) $ строим график $ y = 1-2x $. Это луч, выходящий из точки $(3, -5)$ (выколота) и проходящий через $(4, -7)$.

Ответ: Функция непрерывна на $ x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 3) \cup (3, +\infty) $. В точках $x=-1$ и $x=3$ разрывы первого рода (скачки).