Вопросы, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что можно сказать о графике функции, у которого есть асимптота: 1) вертикальная; 2) горизонтальная?

2. Может ли график функции иметь две асимптоты: 1) горизонтальную и вертикальную; 2) наклонную и горизонтальную?

3. Может ли график функции иметь две наклонные асимптоты?

1) вертикальная: Если у графика функции есть вертикальная асимптота $x=a$, это означает, что в точке $x=a$ функция не определена и имеет разрыв второго рода. При приближении аргумента $x$ к $a$ (справа или слева), значение функции $f(x)$ устремляется к бесконечности (положительной или отрицательной). Математически это выражается как $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$. График функции бесконечно приближается к вертикальной прямой $x=a$, но не пересекает её.

2) горизонтальная: Если у графика функции есть горизонтальная асимптота $y=b$, это описывает поведение функции на бесконечности. Это значит, что когда аргумент $x$ стремится к $+\infty$ или к $-\infty$, значения функции $f(x)$ стремятся к постоянному числу $b$. Математически это записывается как $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$. График функции бесконечно приближается к горизонтальной прямой $y=b$.

Ответ: Наличие вертикальной асимптоты говорит о точке разрыва, в которой функция уходит в бесконечность. Наличие горизонтальной асимптоты говорит о том, что функция стремится к постоянному значению при $x \to \pm\infty$.

1) горизонтальную и вертикальную: Да, может. Это характерно для многих дробно-рациональных функций. Например, график функции $y = \frac{3x}{x-1}$ имеет вертикальную асимптоту $x=1$ (так как знаменатель равен нулю) и горизонтальную асимптоту $y=3$ (так как $\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x-1} = 3$).

2) наклонную и горизонтальную: Да, может, но на разных концах числовой оси. Функция не может иметь одновременно и наклонную, и горизонтальную асимптоты при $x \to +\infty$ (или при $x \to -\infty$), поскольку горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной, где угловой коэффициент $k=0$. Однако у графика может быть горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$ и наклонная при $x \to +\infty$. Например, функция $y = \sqrt{x^2+1} + x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$ и наклонную асимптоту $y=2x$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Да, график функции может иметь одновременно горизонтальную и вертикальную асимптоты. Он также может иметь наклонную и горизонтальную асимптоты, но для разных направлений стремления $x$ (к $+\infty$ и к $-\infty$).

Да, может. График функции может иметь две разные наклонные асимптоты: одну при $x \to +\infty$ и другую при $x \to -\infty$. У функции не может быть более одной наклонной (или горизонтальной) асимптоты на каждом "конце" оси $Ox$. Таким образом, максимальное общее число наклонных и горизонтальных асимптот равно двум.

Например, график функции $y = \sqrt{x^2+1}$ (верхняя ветвь гиперболы) имеет две наклонные асимптоты: $y=x$ при $x \to +\infty$ и $y=-x$ при $x \to -\infty$.

Ответ: Да, график функции может иметь две наклонные асимптоты.