Номер 39.6, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.6.

1)

2)

Рис. 39.9

1) На рисунке 1 изображен график рациональной функции с вертикальной и наклонной асимптотами.

Сначала определим уравнения асимптот.

Из графика видно, что вертикальной асимптотой является прямая $x = -1$. Это означает, что знаменатель функции обращается в ноль при $x = -1$, следовательно, он содержит множитель $(x+1)$.

Наклонная асимптота (показана пунктиром) является прямой линией вида $y = kx + b$. Для нахождения ее уравнения возьмем две точки, через которые она проходит, например, $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

Угловой коэффициент (наклон) $k = \frac{1 - 0}{0 - (-1)} = 1$.

Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, следовательно, $b = 1$.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты: $y = x + 1$.

Общий вид рациональной функции с такими асимптотами можно записать как сумму наклонной асимптоты и дроби, где в знаменателе стоит $(x+1)$, а в числителе — константа $c$:

$y = x + 1 + \frac{c}{x+1}$

Чтобы найти значение $c$, воспользуемся точкой, принадлежащей графику функции (сплошная линия). Из графика видно, что функция проходит через точку $(1, 4)$. Подставим эти координаты в уравнение:

$4 = 1 + 1 + \frac{c}{1+1}$

$4 = 2 + \frac{c}{2}$

$2 = \frac{c}{2}$

$c = 4$

Следовательно, искомое уравнение функции: $y = x + 1 + \frac{4}{x+1}$.

Для проверки можно взять другую точку с графика, например, локальный максимум в точке $(-3, -4)$:

$y(-3) = -3 + 1 + \frac{4}{-3+1} = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4$.

Значение совпадает, значит, уравнение найдено верно.

Ответ: $y = x+1 + \frac{4}{x+1}$

2) На рисунке 2 изображен график функции, которая имеет наклонную асимптоту.

Сначала определим уравнение наклонной асимптоты. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(-2, 2)$.

Угловой коэффициент $k = \frac{2-0}{-2-0} = -1$.

Прямая проходит через начало координат, поэтому $b=0$.

Уравнение наклонной асимптоты: $y = -x$.

Функция не имеет вертикальных асимптот, значит, она непрерывна на всей числовой оси.

Уравнение функции можно представить в виде $y = -x + g(x)$, где $g(x) \to 0$ при $x \to \pm\infty$.

Из графика видно, что при $x>0$ кривая функции лежит ниже асимптоты ($g(x)<0$), а при $x<0$ — выше асимптоты ($g(x)>0$). Это свойственно нечетным функциям. Предположим, что $g(x)$ — нечетная функция. Простейший вид такой рациональной функции, не имеющей вертикальных асимптот, — это $g(x) = \frac{ax}{x^2+c}$ при $c>0$.

Таким образом, ищем функцию в виде $y = -x + \frac{ax}{x^2+c}$.

Условие $g(x)<0$ для $x>0$ выполняется, если $a<0$.

Для определения коэффициентов $a$ и $c$ воспользуемся информацией об экстремумах функции. Найдем производную:

$y' = -1 + \frac{a(x^2+c) - ax(2x)}{(x^2+c)^2} = -1 + \frac{a(c-x^2)}{(x^2+c)^2}$

В точках экстремума $y'=0$, откуда $-1 = \frac{a(c-x^2)}{(x^2+c)^2}$, или $-(x^2+c)^2 = a(c-x^2)$.

Для существования решений этого уравнения необходимо, чтобы правая часть была отрицательной. Так как $a<0$, требуется, чтобы $c-x^2>0$, что противоречит виду графика (экстремумы находятся не между $-1$ и $1$).

Проверим еще раз: правая часть $a(c-x^2)$ должна быть отрицательной. Поскольку $a<0$, то $c-x^2$ должно быть положительным. Нет, $c-x^2$ должно быть отрицательным, чтобы $a(c-x^2)$ было положительным, что невозможно, так как левая часть $-(x^2+c)^2$ всегда отрицательна.

Давайте перепроверим знак $a$. При $x \to +\infty$, $g(x) = y - (-x)$ отрицательно, так как кривая ниже асимптоты. $g(x) = \frac{ax}{x^2+c} \approx \frac{ax}{x^2} = \frac{a}{x}$. Для $x>0$, $\frac{a}{x}$ должно быть отрицательным, значит $a<0$.

Тогда моя производная была $y' = -1 + \frac{a(c-x^2)}{(x^2+c)^2}$. Пусть $a=-A$, где $A>0$.$y' = -1 - \frac{A(c-x^2)}{(x^2+c)^2}$.$y'=0 \implies -1 = \frac{A(c-x^2)}{(x^2+c)^2} \implies -(x^2+c)^2 = A(c-x^2)$.

Для существования экстремумов необходимо, чтобы $c-x^2 < 0$, то есть $x^2 > c$. Это соответствует графику.

Наиболее простой случай, приводящий к единственной паре экстремумов, — это $A=8c$. При этом условии экстремумы находятся в точках $x^2=3c$.

Выберем простейшее возможное значение $c=1$. Тогда $A=8$, и $a=-8$.

Получаем уравнение: $y = -x - \frac{8x}{x^2+1}$.

Проверим эту функцию. Экстремумы должны быть в точках $x = \pm\sqrt{3c} = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73$.

Найдем значение функции в точке минимума $x=\sqrt{3}$:$y(\sqrt{3}) = -\sqrt{3} - \frac{8\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2+1} = -\sqrt{3} - \frac{8\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -3\sqrt{3} \approx -5.2$.

Найдем значение функции в точке максимума $x=-\sqrt{3}$:$y(-\sqrt{3}) = -(-\sqrt{3}) - \frac{8(-\sqrt{3})}{(-\sqrt{3})^2+1} = \sqrt{3} + \frac{8\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \approx 5.2$.

Положение и значения экстремумов на графике соответствуют этим расчетам.

Ответ: $y = -x - \frac{8x}{x^2+1}$