Номер 39.3, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.3.

1) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$;

2) $f(x) = \frac{2x^2}{x+1}$;

3) $f(x) = \frac{1-x^2}{x-2}$.

1) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Пересечение с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = f(0) = \frac{0^2}{0-1} = 0$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$.

- С осью OX: $y=0 \Rightarrow \frac{x^2}{x-1} = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x=0$. Точка пересечения с осью OX: $(0, 0)$.

График проходит через начало координат.

3. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = \frac{(-x)^2}{-x-1} = \frac{x^2}{-(x+1)} = -\frac{x^2}{x+1}$.

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной). Функция не является периодической.

4. Асимптоты графика.

- Вертикальные асимптоты: $x=1$ - точка разрыва. Вычислим односторонние пределы:

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2}{x-1} = \frac{1}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2}{x-1} = \frac{1}{+0} = +\infty$

Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

- Наклонные асимптоты: ищем асимптоту вида $y = kx+b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2-x} = 1$.

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x)-kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{x-1}-x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-1} = 1$.

Прямая $y = x+1$ является наклонной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (\frac{x^2}{x-1})' = \frac{2x(x-1)-x^2 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x)=0 \Rightarrow x(x-2)=0$.

Критические точки: $x_1=0$, $x_2=2$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, \infty)$.

- на $(-\infty, 0)$: $f'(x)>0$, функция возрастает.

- на $(0, 1)$: $f'(x)<0$, функция убывает.

- на $(1, 2)$: $f'(x)<0$, функция убывает.

- на $(2, \infty)$: $f'(x)>0$, функция возрастает.

Точка $x=0$ - точка локального максимума. $f(0) = 0$. Максимум в $(0,0)$.

Точка $x=2$ - точка локального минимума. $f(2) = \frac{2^2}{2-1} = 4$. Минимум в $(2,4)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (\frac{x^2-2x}{(x-1)^2})' = \frac{(2x-2)(x-1)^2-(x^2-2x) \cdot 2(x-1)}{((x-1)^2)^2} = \frac{2(x-1)^3 - 2(x-1)(x^2-2x)}{(x-1)^4} = \frac{2(x-1)^2-2(x^2-2x)}{(x-1)^3} = \frac{2(x^2-2x+1)-2x^2+4x}{(x-1)^3} = \frac{2}{(x-1)^3}$.

$f''(x) \neq 0$, точек перегиба нет.

- при $x<1$, $f''(x)<0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

- при $x>1$, $f''(x)>0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Ответ: Функция определена для всех $x \neq 1$. Точка пересечения с осями - $(0,0)$. Асимптоты: вертикальная $x=1$ и наклонная $y=x+1$. Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и $[2, \infty)$, убывает на $[0, 1)$ и $(1, 2]$. Точка локального максимума $(0,0)$, точка локального минимума $(2,4)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 1)$ и выпуклый вниз на $(1, \infty)$.

2) $f(x) = \frac{2x^2}{x+1}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.

1. Область определения функции.

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.

2. Пересечение с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = f(0) = \frac{2 \cdot 0^2}{0+1} = 0$. Точка $(0, 0)$.

- С осью OX: $y=0 \Rightarrow \frac{2x^2}{x+1} = 0 \Rightarrow 2x^2 = 0 \Rightarrow x=0$. Точка $(0, 0)$.

График проходит через начало координат.

3. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = \frac{2(-x)^2}{-x+1} = \frac{2x^2}{1-x}$.

$f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Функция общего вида. Непериодическая.

4. Асимптоты графика.

- Вертикальные асимптоты: $x=-1$.

$\lim_{x \to -1^-} \frac{2x^2}{x+1} = \frac{2}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to -1^+} \frac{2x^2}{x+1} = \frac{2}{+0} = +\infty$

Прямая $x=-1$ - вертикальная асимптота.

- Наклонные асимптоты: $y = kx+b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x(x+1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2+x} = 2$.

$b = \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2}{x+1}-2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 2x(x+1)}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x}{x+1} = -2$.

Прямая $y = 2x-2$ - наклонная асимптота.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

$f'(x) = (\frac{2x^2}{x+1})' = \frac{4x(x+1)-2x^2}{(x+1)^2} = \frac{4x^2+4x-2x^2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+4x}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+2)}{(x+1)^2}$.

$f'(x)=0 \Rightarrow 2x(x+2)=0$. Критические точки: $x_1=-2$, $x_2=0$.

- на $(-\infty, -2)$: $f'(x)>0$, функция возрастает.

- на $(-2, -1)$: $f'(x)<0$, функция убывает.

- на $(-1, 0)$: $f'(x)<0$, функция убывает.

- на $(0, \infty)$: $f'(x)>0$, функция возрастает.

$x=-2$ - точка локального максимума. $f(-2) = \frac{2(-2)^2}{-2+1} = -8$. Максимум в $(-2,-8)$.

$x=0$ - точка локального минимума. $f(0) = 0$. Минимум в $(0,0)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

$f''(x) = (\frac{2x^2+4x}{(x+1)^2})' = \frac{(4x+4)(x+1)^2-(2x^2+4x) \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{4(x+1)^2-2(2x^2+4x)}{(x+1)^3} = \frac{4(x^2+2x+1)-4x^2-8x}{(x+1)^3} = \frac{4}{(x+1)^3}$.

$f''(x) \neq 0$, точек перегиба нет.

- при $x<-1$, $f''(x)<0$, график выпуклый вверх.

- при $x>-1$, $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.

Ответ: Функция определена для всех $x \neq -1$. Точка пересечения с осями - $(0,0)$. Асимптоты: вертикальная $x=-1$ и наклонная $y=2x-2$. Функция возрастает на $(-\infty, -2]$ и $[0, \infty)$, убывает на $[-2, -1)$ и $(-1, 0]$. Точка локального максимума $(-2,-8)$, точка локального минимума $(0,0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, -1)$ и выпуклый вниз на $(-1, \infty)$.

3) $f(x) = \frac{1-x^2}{x-2}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.

1. Область определения функции.

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

$D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; \infty)$.

2. Пересечение с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = f(0) = \frac{1-0^2}{0-2} = -\frac{1}{2}$. Точка $(0, -1/2)$.

- С осью OX: $y=0 \Rightarrow \frac{1-x^2}{x-2} = 0 \Rightarrow 1-x^2 = 0 \Rightarrow x=\pm 1$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

3. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = \frac{1-(-x)^2}{-x-2} = \frac{1-x^2}{-(x+2)}$.

$f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Функция общего вида. Непериодическая.

4. Асимптоты графика.

- Вертикальные асимптоты: $x=2$.

$\lim_{x \to 2^-} \frac{1-x^2}{x-2} = \frac{-3}{-0} = +\infty$

$\lim_{x \to 2^+} \frac{1-x^2}{x-2} = \frac{-3}{+0} = -\infty$

Прямая $x=2$ - вертикальная асимптота.

- Наклонные асимптоты: $y = kx+b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1-x^2}{x(x-2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-x^2}{x^2-2x} = -1$.

$b = \lim_{x \to \infty} (\frac{1-x^2}{x-2}-(-1)x) = \lim_{x \to \infty} (\frac{1-x^2}{x-2}+x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1-x^2+x^2-2x}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-2x}{x-2} = -2$.

Прямая $y = -x-2$ - наклонная асимптота.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

$f'(x) = (\frac{1-x^2}{x-2})' = \frac{-2x(x-2)-(1-x^2)}{(x-2)^2} = \frac{-2x^2+4x-1+x^2}{(x-2)^2} = \frac{-x^2+4x-1}{(x-2)^2}$.

$f'(x)=0 \Rightarrow -x^2+4x-1=0 \Rightarrow x^2-4x+1=0$.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Критические точки: $x_1=2-\sqrt{3}$, $x_2=2+\sqrt{3}$.

- на $(-\infty, 2-\sqrt{3})$: $f'(x)<0$, функция убывает.

- на $(2-\sqrt{3}, 2)$: $f'(x)>0$, функция возрастает.

- на $(2, 2+\sqrt{3})$: $f'(x)>0$, функция возрастает.

- на $(2+\sqrt{3}, \infty)$: $f'(x)<0$, функция убывает.

$x=2-\sqrt{3}$ - точка локального минимума. $f(2-\sqrt{3}) = \frac{1-(2-\sqrt{3})^2}{2-\sqrt{3}-2} = \frac{1-(4-4\sqrt{3}+3)}{-\sqrt{3}} = \frac{-6+4\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}-4 \approx -0.54$. Минимум в $(2-\sqrt{3}, 2\sqrt{3}-4)$.

$x=2+\sqrt{3}$ - точка локального максимума. $f(2+\sqrt{3}) = \frac{1-(2+\sqrt{3})^2}{2+\sqrt{3}-2} = \frac{1-(4+4\sqrt{3}+3)}{\sqrt{3}} = \frac{-6-4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3}-4 \approx -7.46$. Максимум в $(2+\sqrt{3}, -2\sqrt{3}-4)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

$f''(x) = (\frac{-x^2+4x-1}{(x-2)^2})' = \frac{(-2x+4)(x-2)^2-(-x^2+4x-1) \cdot 2(x-2)}{(x-2)^4} = \frac{-2(x-2)^2 - 2(-x^2+4x-1)}{(x-2)^3} = \frac{-2(x^2-4x+4)+2x^2-8x+2}{(x-2)^3} = \frac{-6}{(x-2)^3}$.

$f''(x) \neq 0$, точек перегиба нет.

- при $x<2$, $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.

- при $x>2$, $f''(x)<0$, график выпуклый вверх.

Ответ: Функция определена для всех $x \neq 2$. Пересекает ось OY в точке $(0, -1/2)$, ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. Асимптоты: вертикальная $x=2$ и наклонная $y=-x-2$. Функция убывает на $(-\infty, 2-\sqrt{3}]$ и $[2+\sqrt{3}, \infty)$, возрастает на $[2-\sqrt{3}, 2)$ и $(2, 2+\sqrt{3}]$. Точка локального минимума $(2-\sqrt{3}, 2\sqrt{3}-4)$, точка локального максимума $(2+\sqrt{3}, -2\sqrt{3}-4)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 2)$ и выпуклый вверх на $(2, \infty)$.