Номер 38.14, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.14. Постройте график функции:

1) $f(x) = 3 - \cos2x;$

2) $f(x) = \sin x \cdot \cos2x;$

3) $f(x) = 2\cos x \cdot \sin x.$

1) $f(x) = 3 - \cos(2x)$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования, начиная с базового графика $y = \cos(x)$.

1. Построим график функции $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Преобразуем его в график $y = \cos(2x)$. Это преобразование представляет собой сжатие графика $y = \cos(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) в 2 раза. Период функции уменьшится вдвое и станет равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Далее построим график $y = -\cos(2x)$. Он получается из предыдущего графика путем симметричного отражения относительно оси Ox. Максимумы становятся минимумами и наоборот.

4. Последний шаг — построение искомого графика $f(x) = 3 - \cos(2x)$, или $f(x) = -\cos(2x) + 3$. Этот график получается из графика $y = -\cos(2x)$ сдвигом вверх вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы.

Основные свойства функции $f(x) = 3 - \cos(2x)$:

- Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

- Область значений: поскольку $-1 \le \cos(2x) \le 1$, то $-1 \le -\cos(2x) \le 1$. Прибавив 3 ко всем частям неравенства, получим $3 - 1 \le 3 - \cos(2x) \le 3 + 1$, что дает $2 \le f(x) \le 4$. Таким образом, область значений $E(f) = [2, 4]$.

- Период функции: $T = \pi$.

- Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$:

- $f(0) = 3 - \cos(0) = 3 - 1 = 2$ (точка минимума).

- $f(\frac{\pi}{4}) = 3 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 3 - 0 = 3$.

- $f(\frac{\pi}{2}) = 3 - \cos(\pi) = 3 - (-1) = 4$ (точка максимума).

- $f(\frac{3\pi}{4}) = 3 - \cos(\frac{3\pi}{2}) = 3 - 0 = 3$.

- $f(\pi) = 3 - \cos(2\pi) = 3 - 1 = 2$ (точка минимума).

Ответ: График функции $f(x) = 3 - \cos(2x)$ представляет собой синусоиду (конкретно, перевернутую и сдвинутую косинусоиду) с периодом $\pi$, колеблющуюся относительно прямой $y=3$ с амплитудой 1. Область значений функции — отрезок $[2, 4]$.

2) $f(x) = \sin x \cdot \cos 2x$

Для упрощения и анализа функции воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$.

Применим ее к нашей функции, где $A=x$ и $B=2x$:

$f(x) = \sin x \cos 2x = \frac{1}{2}[\sin(x+2x) + \sin(x-2x)] = \frac{1}{2}[\sin(3x) + \sin(-x)]$.

Учитывая, что синус — нечетная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$f(x) = \frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin x)$.

График этой функции можно представить как результат сложения (усреднения) графиков двух функций: $y_1 = \sin(3x)$ и $y_2 = -\sin x$.

Основные свойства функции $f(x) = \frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin x)$:

- Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

- Периодичность: Период для $\sin(3x)$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{3}$. Период для $\sin x$ равен $T_2 = 2\pi$. Период функции $f(x)$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$ и $T_2$, что составляет $T = 2\pi$.

- Четность/нечетность: $f(-x) = \frac{1}{2}(\sin(-3x) - \sin(-x)) = \frac{1}{2}(-\sin(3x) + \sin x) = -f(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

- Нули функции (пересечение с осью Ox): $f(x)=0 \implies \sin(3x) - \sin x = 0 \implies \sin(3x) = \sin x$. Преобразуем разность синусов в произведение: $2\cos(\frac{3x+x}{2})\sin(\frac{3x-x}{2}) = 0$, то есть $2\cos(2x)\sin x = 0$. Это уравнение распадается на два: $\sin x = 0$ или $\cos(2x) = 0$.

- $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

- $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для построения графика найдем значения в нескольких точках на промежутке $[0, \pi]$:

- $f(0)=0$

- $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{6})) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

- $f(\frac{\pi}{4})=0$

- $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}(\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2}(-1 - 1) = -1$

- $f(\frac{3\pi}{4})=0$

- $f(\pi)=0$

Ответ: График функции является сложной периодической кривой с периодом $2\pi$. Он симметричен относительно начала координат. Для построения графика следует найти его нули и экстремумы и соединить их плавной линией, учитывая периодичность.

3) $f(x) = 2\cos x \cdot \sin x$

Данное выражение является правой частью известной тригонометрической формулы синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Следовательно, функцию можно упростить:

$f(x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \sin(2x)$.

Этот график получается из графика базовой функции $y = \sin x$ путем сжатия вдоль оси абсцисс (Ox) в 2 раза.

Основные свойства функции $f(x) = \sin(2x)$:

- Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

- Область значений: $E(f) = [-1, 1]$.

- Период: Исходный период синуса $2\pi$ делится на коэффициент при $x$, то есть $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

- Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$:

- $f(0) = \sin(0) = 0$.

- $f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (точка максимума).

- $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\pi) = 0$.

- $f(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ (точка минимума).

- $f(\pi) = \sin(2\pi) = 0$.

Ответ: График функции $f(x) = 2\cos x \sin x$ идентичен графику функции $y = \sin(2x)$. Это синусоида, сжатая в два раза по горизонтали, с периодом $\pi$ и амплитудой 1.