Номер 38.13, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.13. Найдите предел функции:

1) $ \lim_{x \to 0} \frac{tg 4x}{\sin 2x}; $

2) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}; $

3) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{tg^2 2x}; $

4) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\sin^2 x}; $

5) $ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}; $

6) $ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{5 - x} - 2}{x - 1}; $

7) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x + 3}{x^3 - 2}; $

8) $ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 2x^2 + 3x}{x^3 + 2x - 1}. $

1) Для нахождения предела $\lim_{x\to0}\frac{\tg 4x}{\sin 2x}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся первым замечательным пределом $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} = 1$ и его следствием $\lim_{u\to0}\frac{\tg u}{u} = 1$.

Преобразуем выражение, умножив и разделив числитель на $4x$ и знаменатель на $2x$:

$\lim_{x\to0}\frac{\tg 4x}{\sin 2x} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{\tg 4x}{4x} \cdot 4x}{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\tg 4x}{4x}}{\frac{\sin 2x}{2x}} \cdot \frac{4x}{2x}$

Поскольку при $x \to 0$, $4x \to 0$ и $2x \to 0$, то $\lim_{x\to0}\frac{\tg 4x}{4x} = 1$ и $\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{2x} = 1$.

Таким образом, предел равен:

$\frac{1}{1} \cdot \lim_{x\to0}\frac{4x}{2x} = 1 \cdot \frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2

2) Для нахождения предела $\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся первым замечательным пределом $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} = 1$.

Преобразуем выражение, разделив числитель и знаменатель на $x$ и выполнив необходимые умножения и деления:

$\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x}}{\frac{\sin 3x}{3x}} \cdot \frac{2x}{3x}$

Так как $\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{2x} = 1$ и $\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x} = 1$, получаем:

$\frac{1}{1} \cdot \lim_{x\to0}\frac{2x}{3x} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

3) Для нахождения предела $\lim_{x\to0}\frac{1 - \cos 2x}{\tg^2 2x}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Воспользуемся известными эквивалентностями для бесконечно малых функций при $x \to 0$: $1 - \cos u \sim \frac{u^2}{2}$ и $\tg u \sim u$.

Для нашего случая, при $x \to 0$, аргумент $2x \to 0$. Следовательно:

$1 - \cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = \frac{4x^2}{2} = 2x^2$

$\tg 2x \sim 2x$, значит $\tg^2 2x \sim (2x)^2 = 4x^2$.

Подставляем эквивалентные функции в предел:

$\lim_{x\to0}\frac{1 - \cos 2x}{\tg^2 2x} = \lim_{x\to0}\frac{2x^2}{4x^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для нахождения предела $\lim_{x\to0}\frac{1 - \cos 2x}{\sin^2 x}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Используем тригонометрическую формулу понижения степени: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.

Подставим это выражение в предел:

$\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2 x}{\sin^2 x}$

Сокращаем $\sin^2 x$ (поскольку $x \to 0$, но $x \neq 0$, то $\sin^2 x \neq 0$):

$\lim_{x\to0} 2 = 2$

Ответ: 2

5) Для нахождения предела $\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{2+x}-2}{x-2}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Чтобы раскрыть неопределенность, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{2+x}+2$.

$\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{2+x}-2}{x-2} = \lim_{x\to2}\frac{(\sqrt{2+x}-2)(\sqrt{2+x}+2)}{(x-2)(\sqrt{2+x}+2)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\lim_{x\to2}\frac{(2+x) - 2^2}{(x-2)(\sqrt{2+x}+2)} = \lim_{x\to2}\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{2+x}+2)}$

Сокращаем множитель $(x-2)$:

$\lim_{x\to2}\frac{1}{\sqrt{2+x}+2}$

Теперь подставляем $x=2$ в полученное выражение:

$\frac{1}{\sqrt{2+2}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

6) Для нахождения предела $\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{5-x}-2}{x-1}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{5-x}+2$.

$\lim_{x\to1}\frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{5-x}+2)}{(x-1)(\sqrt{5-x}+2)} = \lim_{x\to1}\frac{(5-x)-2^2}{(x-1)(\sqrt{5-x}+2)}$

$\lim_{x\to1}\frac{5-x-4}{(x-1)(\sqrt{5-x}+2)} = \lim_{x\to1}\frac{1-x}{(x-1)(\sqrt{5-x}+2)}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $1-x = -(x-1)$.

$\lim_{x\to1}\frac{-(x-1)}{(x-1)(\sqrt{5-x}+2)}$

Сокращаем множитель $(x-1)$:

$\lim_{x\to1}\frac{-1}{\sqrt{5-x}+2}$

Подставляем $x=1$:

$\frac{-1}{\sqrt{5-1}+2} = \frac{-1}{\sqrt{4}+2} = \frac{-1}{2+2} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

7) Для нахождения предела $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-2x+3}{x^3-2}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$.

Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x^3$.

$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}-\frac{2x}{x^3}+\frac{3}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}-\frac{2}{x^3}} = \lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^3}}{1-\frac{2}{x^3}}$

При $x\to\infty$ выражения $\frac{2}{x^2}$, $\frac{3}{x^3}$ и $\frac{2}{x^3}$ стремятся к нулю.

Поэтому предел равен:

$\frac{1-0+0}{1-0} = 1$

Ответ: 1

8) Для нахождения предела $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-2x^2+3x}{x^3+2x-1}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$.

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x^3$.

$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x^3}{x^3}-\frac{2x^2}{x^3}+\frac{3x}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{2x}{x^3}-\frac{1}{x^3}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}$

При $x\to\infty$ выражения $\frac{2}{x}$, $\frac{3}{x^2}$, $\frac{2}{x^2}$ и $\frac{1}{x^3}$ стремятся к нулю.

Поэтому предел равен:

$\frac{2-0+0}{1+0-0} = 2$

Ответ: 2