Номер 38.7, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.7. Постройте график функции $y = f(x)$. Исследуйте функцию на непрерывность:

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 \text{ при } x \le 2, \\ 5 - x \text{ при } x > 2; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 \text{ при } x \le 0, \\ x - 1 \text{ при } x > 0; \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 \text{ при } x \le 2, \\ 7 - x^2 \text{ при } x > 2. \end{cases}$

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 2 \\ 5 - x & \text{при } x > 2 \end{cases}$

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. При $x \le 2$ строим график функции $y = x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Для построения найдем несколько точек: $f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$; $f(0) = 0^2 - 1 = -1$; $f(1) = 1^2 - 1 = 0$; $f(2) = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$ является конечной точкой этой части графика и принадлежит ей.

2. При $x > 2$ строим график функции $y = 5 - x$. Это прямая линия. Для построения найдем две точки. Возьмем точку $x=3$, $f(3) = 5 - 3 = 2$. Возьмем точку $x=5$, $f(5) = 5 - 5 = 0$. График начинается в точке, близкой к $x=2$. Найдем предел справа: $\lim_{x \to 2+} (5-x) = 3$. Таким образом, эта часть графика начинается из точки $(2, 3)$, не включая ее.

Так как в точке $x=2$ значение первой функции равно $3$ и предел второй функции тоже равен $3$, то на графике в точке $(2, 3)$ разрыва не будет.

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. Функции $y = x^2 - 1$ и $y = 5 - x$ являются элементарными и непрерывными на всей числовой прямой. Поэтому единственной точкой, где может нарушаться непрерывность, является точка $x=2$, где меняется аналитическое выражение функции.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 2$:

1. Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 - 1 = 3$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} (5 - x) = 5 - 2 = 3$.

Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=2$ равны между собой ($\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} f(x) = f(2) = 3$), функция является непрерывной в точке $x=2$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 0 \\ x - 1 & \text{при } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. При $x \le 0$ строим график функции $y = x^2 - 1$. Это левая часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -1)$. Точка $(0, -1)$ является конечной точкой этой части графика и принадлежит ей.

2. При $x > 0$ строим график функции $y = x - 1$. Это прямая линия (луч). Для построения найдем несколько точек: $f(1) = 1-1=0$; $f(2) = 2-1=1$. График начинается в точке, близкой к $x=0$. Найдем предел справа: $\lim_{x \to 0+} (x-1) = -1$. Эта часть графика начинается из точки $(0, -1)$, не включая ее.

Так как в точке $x=0$ значение первой функции равно $-1$ и предел второй функции тоже равен $-1$, то на графике в точке $(0, -1)$ разрыва не будет.

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. Функции $y = x^2 - 1$ и $y = x - 1$ являются непрерывными на своих областях определения. Исследуем на непрерывность точку $x=0$, где меняется формула функции.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 0$:

1. Значение функции в точке: $f(0) = 0^2 - 1 = -1$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0-0} f(x) = \lim_{x \to 0-0} (x^2 - 1) = 0^2 - 1 = -1$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0+0} f(x) = \lim_{x \to 0+0} (x - 1) = 0 - 1 = -1$.

Так как $\lim_{x \to 0-0} f(x) = \lim_{x \to 0+0} f(x) = f(0) = -1$, функция является непрерывной в точке $x=0$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

3) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 2 \\ 7 - x^2 & \text{при } x > 2 \end{cases}$

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. При $x \le 2$ строим график функции $y = x^2 - 1$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в $(0, -1)$. Крайняя точка этой части графика $f(2) = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$ принадлежит графику.

2. При $x > 2$ строим график функции $y = 7 - x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в $(0, 7)$. Для построения найдем несколько точек: $f(3) = 7 - 3^2 = -2$. Корень функции: $7-x^2=0 \Rightarrow x=\sqrt{7} \approx 2.65$, точка $(\sqrt{7}, 0)$ принадлежит графику. График начинается в точке, близкой к $x=2$. Найдем предел справа: $\lim_{x \to 2+} (7-x^2) = 7 - 2^2 = 3$. Эта часть графика начинается из точки $(2, 3)$, не включая ее.

Так как в точке $x=2$ значение первой функции равно $3$ и предел второй функции тоже равен $3$, то на графике в точке $(2, 3)$ разрыва не будет.

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. Обе функции $y = x^2 - 1$ и $y = 7 - x^2$ являются непрерывными. Исследуем на непрерывность точку "стыка" $x=2$.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 2$:

1. Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 - 1 = 3$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} (7 - x^2) = 7 - 2^2 = 3$.

Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=2$ равны ($\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} f(x) = f(2) = 3$), функция является непрерывной в точке $x=2$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.