Номер 38.2, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.2. Постройте график функции $y = f(x)$. Выясните, является ли функция непрерывной в точке $x_0 = 0$:

1) $y = \begin{cases} 1 - x \text{ при } x \ge 0, \\ 1 + x \text{ при } x < 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 2 + x \text{ при } x \ge 0, \\ 1 + x \text{ при } x < 0; \end{cases}$

3) $y = \begin{cases} 2 - x \text{ при } x \ge 0, \\ 2x \text{ при } x < 0. \end{cases}$

1) Дана функция $y = \begin{cases} 1 - x & \text{при } x \ge 0, \\ 1 + x & \text{при } x < 0. \end{cases}$

Построение графика:

График функции состоит из двух частей, являющихся лучами.

- При $x \ge 0$ строим график функции $y = 1 - x$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: при $x=0$ значение $y=1-0=1$ (точка $(0, 1)$); при $x=1$ значение $y=1-1=0$ (точка $(1, 0)$). Таким образом, эта часть графика – луч, начинающийся в точке $(0, 1)$ и проходящий через точку $(1, 0)$.

- При $x < 0$ строим график функции $y = 1 + x$. Это также прямая линия. Найдем две точки: при $x=-1$ значение $y=1+(-1)=0$ (точка $(-1, 0)$); при $x=-2$ значение $y=1+(-2)=-1$ (точка $(-2, -1)$). Эта часть графика – луч, который заканчивается в точке $(0, 1)$ (но сама точка не включается, так как $x < 0$), проходя через точку $(-1, 0)$.

Объединяя обе части, получаем график, который выглядит как перевернутая буква 'V' с вершиной в точке $(0, 1)$. Это график функции $y = 1 - |x|$.

Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$:

Функция $f(x)$ является непрерывной в точке $x_0$, если выполняется равенство $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Это означает, что должны быть выполнены три условия: 1) функция определена в точке $x_0$; 2) существует предел функции в этой точке (односторонние пределы равны); 3) значение функции в точке равно ее пределу.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$. При $x=0$ используется формула $y=1-x$.

$f(0) = 1 - 0 = 1$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=0$.

Предел справа (когда $x$ стремится к $0$, оставаясь положительным): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 - x) = 1 - 0 = 1$.

Предел слева (когда $x$ стремится к $0$, оставаясь отрицательным): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + x) = 1 + 0 = 1$.

3. Так как предел слева равен пределу справа, общий предел существует и равен 1: $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$.

Сравниваем значение функции и ее предел в точке $x_0=0$: $f(0) = 1$ и $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$.

Поскольку все условия выполнены, функция непрерывна в точке $x_0=0$.

Ответ: Функция непрерывна в точке $x_0 = 0$.

2) Дана функция $y = \begin{cases} 2 + x & \text{при } x \ge 0, \\ 1 + x & \text{при } x < 0. \end{cases}$

Построение графика:

- При $x \ge 0$ строим график $y = 2 + x$. Это луч, начинающийся в точке $(0, 2)$ (при $x=0, y=2+0=2$, точка закрашена) и проходящий, например, через точку $(1, 3)$.

- При $x < 0$ строим график $y = 1 + x$. Это луч, который "подходит" к точке $(0, 1)$ (при $x \to 0^-, y \to 1+0=1$, точка выколота) и проходит, например, через точку $(-1, 0)$.

График состоит из двух не соединенных между собой лучей. В точке $x=0$ наблюдается скачок (разрыв).

Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$:

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$. При $x=0$ используется формула $y=2+x$.

$f(0) = 2 + 0 = 2$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=0$.

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2 + x) = 2 + 0 = 2$.

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + x) = 1 + 0 = 1$.

3. Так как предел слева ($1$) не равен пределу справа ($2$), общий предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует.

Поскольку не выполняется условие существования предела, функция не является непрерывной в точке $x_0=0$. Она имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$.

3) Дана функция $y = \begin{cases} 2 - x & \text{при } x \ge 0, \\ 2x & \text{при } x < 0. \end{cases}$

Построение графика:

- При $x \ge 0$ строим график $y = 2 - x$. Это луч, начинающийся в точке $(0, 2)$ (при $x=0, y=2-0=2$, точка закрашена) и проходящий, например, через точку $(2, 0)$.

- При $x < 0$ строим график $y = 2x$. Это луч, который "подходит" к точке $(0, 0)$ (при $x \to 0^-, y \to 2 \cdot 0=0$, точка выколота) и проходит, например, через точку $(-1, -2)$.

График состоит из двух не соединенных между собой лучей. В точке $x=0$ наблюдается скачок (разрыв).

Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$:

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$. При $x=0$ используется формула $y=2-x$.

$f(0) = 2 - 0 = 2$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=0$.

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2 - x) = 2 - 0 = 2$.

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x) = 2 \cdot 0 = 0$.

3. Так как предел слева ($0$) не равен пределу справа ($2$), общий предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует.

Следовательно, функция не является непрерывной в точке $x_0=0$. Она имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$.