Номер 37.18, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.18. Постройте эскиз графика функции:

1) $f(x) = (x + 1)^2 - 1$;

2) $f(x) = |x^2 - 4|$;

3) $f(x) = |\sin x|$;

4) $f(x) = |2\cos x|$.

a)

б)

Рис. 37.2

1) Для построения эскиза графика функции $f(x) = (x + 1)^2 - 1$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = x^2$. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Сначала сдвигаем эту параболу на 1 единицу влево, чтобы получить график функции $y = (x + 1)^2$. Вершина параболы переместится в точку $(-1, 0)$. Затем сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз, чтобы получить график функции $y = (x + 1)^2 - 1$. Вершина сместится в точку $(-1, -1)$. Для большей точности эскиза найдем точки пересечения с осями координат. Пересечение с осью OY: $x=0$, $y = (0+1)^2 - 1 = 0$. Точка $(0,0)$. Пересечение с осью OX: $y=0$, $(x+1)^2 - 1 = 0$, $(x+1)^2 = 1$, откуда $x+1=1$ или $x+1=-1$. Получаем $x=0$ и $x=-2$. Точки $(0,0)$ и $(-2,0)$.

Ответ: Эскиз представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. График проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 0)$.

2) Для построения эскиза графика функции $f(x) = |x^2 - 4|$ сначала построим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 4 единицы вниз. Её вершина находится в точке $(0, -4)$, а ветви направлены вверх. Точки пересечения с осью OX находятся из уравнения $x^2 - 4 = 0$, то есть $x = -2$ и $x = 2$. Затем применяем операцию взятия модуля. Это означает, что часть графика, которая находится ниже оси OX (где $y < 0$), должна быть симметрично отражена относительно оси OX. Часть графика, которая находится выше или на оси OX, остается без изменений.

Ответ: Эскиз графика функции $f(x) = |x^2 - 4|$ получается из параболы $y = x^2 - 4$ следующим образом: часть параболы при $x \le -2$ и $x \ge 2$ остается на месте. Часть параболы, находящаяся между $x=-2$ и $x=2$ (которая была ниже оси OX), отражается вверх. В результате получается график с локальным максимумом в точке $(0, 4)$ и двумя точками излома ("остриями") в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Функция всегда неотрицательна ($f(x) \ge 0$).

3) Для построения эскиза графика функции $f(x) = |\sin x|$ сначала рассмотрим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$, колеблющаяся в пределах от -1 до 1. Она проходит через начало координат, а её нули находятся в точках $x=k\pi$, где $k$ — любое целое число. Применение модуля означает, что все отрицательные значения функции становятся положительными. Геометрически это соответствует отражению частей графика, лежащих ниже оси OX, симметрично вверх относительно этой оси.

Ответ: Эскиз графика функции $f(x) = |\sin x|$ представляет собой последовательность одинаковых "холмов", расположенных на оси OX. Функция всегда неотрицательна. Минимальное значение равно 0 (достигается в точках $x=k\pi$), а максимальное значение равно 1 (достигается в точках $x = \pi/2 + k\pi$). Период этой функции равен $\pi$.

4) Для построения эскиза графика функции $f(x) = |2\cos x|$ сначала построим график функции $y = 2\cos x$. Это косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси OY. Она является периодической функцией с периодом $2\pi$ и колеблется в пределах от -2 до 2. Максимумы, равные 2, достигаются в точках $x=2k\pi$, а минимумы, равные -2, в точках $x=\pi+2k\pi$. Нули функции находятся в точках $x=\pi/2+k\pi$, где $k$ — любое целое число. Применение модуля отражает все части графика, находящиеся ниже оси OX, симметрично вверх.

Ответ: Эскиз графика функции $f(x) = |2\cos x|$ представляет собой последовательность одинаковых "холмов". Функция всегда неотрицательна. Максимальное значение равно 2 (достигается в точках $x=k\pi$), а минимальное значение равно 0 (достигается в точках $x = \pi/2 + k\pi$). Период этой функции равен $\pi$.