Номер 37.12, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.12. Известно, что $\lim_{x\to 2} f(x) = 3$, $\lim_{x\to 2} g(x) = -1$. Найдите пределы:

1) $\lim_{x\to 2} (2f(x) - g(x));$

2) $\lim_{x\to 2} (f(x) \cdot (g(x) - 2));$

3) $\lim_{x\to 2} \frac{f(x)}{g(x)};$

46

4) $\lim_{x\to 2} \left(\frac{f(x)}{g(x)} + 4g(x)\right);$

5) $\lim_{x\to 2} \left(\frac{6}{f(x)} - \frac{2f(x)}{g(x)}\right);$

6) $\lim_{x\to 2} (f(x) + 1)^2.$

Для решения всех пунктов задачи будем использовать арифметические свойства пределов. Нам даны два предела:

$\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

$\lim_{x \to 2} g(x) = -1$

1) $\lim_{x \to 2} (2f(x) - g(x))$

Используем свойство предела разности и свойство вынесения константы за знак предела:

$\lim_{x \to 2} (2f(x) - g(x)) = \lim_{x \to 2} (2f(x)) - \lim_{x \to 2} g(x) = 2 \cdot \lim_{x \to 2} f(x) - \lim_{x \to 2} g(x)$

Подставляем известные значения пределов:

$2 \cdot 3 - (-1) = 6 + 1 = 7$

Ответ: 7

2) $\lim_{x \to 2} (f(x) \cdot (g(x) - 2))$

Используем свойство предела произведения:

$\lim_{x \to 2} (f(x) \cdot (g(x) - 2)) = \lim_{x \to 2} f(x) \cdot \lim_{x \to 2} (g(x) - 2)$

Затем используем свойство предела разности для второго сомножителя. Предел константы равен самой константе ($\lim_{x \to 2} 2 = 2$).

$\lim_{x \to 2} f(x) \cdot (\lim_{x \to 2} g(x) - \lim_{x \to 2} 2)$

Подставляем известные значения:

$3 \cdot (-1 - 2) = 3 \cdot (-3) = -9$

Ответ: -9

3) $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)}$

Используем свойство предела частного. Это возможно, так как предел знаменателя не равен нулю ($\lim_{x \to 2} g(x) = -1 \neq 0$).

$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to 2} f(x)}{\lim_{x \to 2} g(x)}$

Подставляем известные значения:

$\frac{3}{-1} = -3$

Ответ: -3

4) $\lim_{x \to 2} (\frac{f(x)}{g(x)} + 4g(x))$

Используем свойство предела суммы:

$\lim_{x \to 2} (\frac{f(x)}{g(x)} + 4g(x)) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} + \lim_{x \to 2} (4g(x))$

Далее применяем свойства предела частного и вынесения константы:

$\frac{\lim_{x \to 2} f(x)}{\lim_{x \to 2} g(x)} + 4 \cdot \lim_{x \to 2} g(x)$

Подставляем известные значения:

$\frac{3}{-1} + 4 \cdot (-1) = -3 - 4 = -7$

Ответ: -7

5) $\lim_{x \to 2} (\frac{6}{f(x)} - \frac{2f(x)}{g(x)})$

Используем свойство предела разности:

$\lim_{x \to 2} (\frac{6}{f(x)} - \frac{2f(x)}{g(x)}) = \lim_{x \to 2} \frac{6}{f(x)} - \lim_{x \to 2} \frac{2f(x)}{g(x)}$

Применяем свойство предела частного для каждого слагаемого (пределы знаменателей $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $\lim_{x \to 2} g(x) = -1$ не равны нулю):

$\frac{\lim_{x \to 2} 6}{\lim_{x \to 2} f(x)} - \frac{\lim_{x \to 2} (2f(x))}{\lim_{x \to 2} g(x)} = \frac{6}{3} - \frac{2 \cdot \lim_{x \to 2} f(x)}{\lim_{x \to 2} g(x)}$

Подставляем известные значения:

$\frac{6}{3} - \frac{2 \cdot 3}{-1} = 2 - \frac{6}{-1} = 2 - (-6) = 2 + 6 = 8$

Ответ: 8

6) $\lim_{x \to 2} (f(x) + 1)^2$

Используем свойство предела степени, а затем предела суммы:

$\lim_{x \to 2} (f(x) + 1)^2 = (\lim_{x \to 2} (f(x) + 1))^2 = (\lim_{x \to 2} f(x) + \lim_{x \to 2} 1)^2$

Подставляем известные значения:

$(3 + 1)^2 = 4^2 = 16$

Ответ: 16