Номер 37.8, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.8. 1) $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\operatorname{tg}(x^2)};$

2) $\lim_{x\to 0} \frac{3\sin 2x - 4\sin 5x}{5\sin 3x + \sin 5x};$

3) $\lim_{x\to 0} \frac{3\sin 2x - 4\sin x}{5x - \sin 3x};$

4) $\lim_{x\to 0} \frac{2\sin 2x + 2\sin 3x}{2x - 4\sin 2x}.$

1) Для вычисления предела $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 2x}{\text{tg}(x^2)}$ сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия воспользуемся известными тригонометрическими тождествами и эквивалентными бесконечно малыми функциями.

Сначала применим формулу понижения степени для косинуса: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$. В нашем случае $\alpha=x$.

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 2x}{\text{tg}(x^2)} = \lim_{x\to0} \frac{2\sin^2 x}{\text{tg}(x^2)}$

Теперь используем эквивалентные бесконечно малые при $x \to 0$. Из первого замечательного предела ($\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$) следуют эквивалентности:

$\sin x \sim x$

$\text{tg}(x^2) \sim x^2$ (поскольку $x^2 \to 0$ при $x \to 0$)

Заменяем функции в пределе на их эквиваленты:

$\lim_{x\to0} \frac{2(x)^2}{x^2} = \lim_{x\to0} \frac{2x^2}{x^2} = 2$

Ответ: $2$

2) В пределе $\lim_{x\to0} \frac{3\sin 2x - 4\sin 5x}{5\sin 3x + \sin 5x}$ при подстановке $x=0$ возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Для решения воспользуемся эквивалентностью $\sin(kx) \sim kx$ при $x \to 0$.

Заменяем синусы в числителе и знаменателе на эквивалентные им функции:

$\sin 2x \sim 2x$

$\sin 5x \sim 5x$

$\sin 3x \sim 3x$

Подставляем в исходный предел:

$\lim_{x\to0} \frac{3(2x) - 4(5x)}{5(3x) + 5x} = \lim_{x\to0} \frac{6x - 20x}{15x + 5x} = \lim_{x\to0} \frac{-14x}{20x} = -\frac{14}{20} = -\frac{7}{10}$

Ответ: $-\frac{7}{10}$

3) В пределе $\lim_{x\to0} \frac{3\sin 2x - 4\sin x}{5x - \sin 3x}$ также имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Применим тот же метод, что и в предыдущем задании, используя эквивалентность $\sin(kx) \sim kx$ при $x \to 0$.

$\sin 2x \sim 2x$

$\sin x \sim x$

$\sin 3x \sim 3x$

Подставляем эквивалентные функции в выражение под знаком предела:

$\lim_{x\to0} \frac{3(2x) - 4(x)}{5x - 3x} = \lim_{x\to0} \frac{6x - 4x}{5x - 3x} = \lim_{x\to0} \frac{2x}{2x} = 1$

Ответ: $1$

4) Для вычисления предела $\lim_{x\to0} \frac{2\sin 2x + 2\sin 3x}{2x - 4\sin 2x}$ мы снова сталкиваемся с неопределенностью $\frac{0}{0}$.

Используем замену на эквивалентные бесконечно малые при $x \to 0$: $\sin(kx) \sim kx$.

$\sin 2x \sim 2x$

$\sin 3x \sim 3x$

Подставляем эти эквивалентности в предел:

$\lim_{x\to0} \frac{2(2x) + 2(3x)}{2x - 4(2x)} = \lim_{x\to0} \frac{4x + 6x}{2x - 8x} = \lim_{x\to0} \frac{10x}{-6x} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}$