Номер 37.4, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.4. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:

1) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{2x}$ при $x \to 0$;

2) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} 6x}{3x}$ при $x \to 0$;

3) $f(x) = \frac{2\operatorname{tg} 2x}{5x}$ при $x \to 0$;

4) $f(x) = \frac{5\operatorname{tg} 3x}{6x}$ при $x \to 0$.

Для решения всех задач используется следствие из первого замечательного предела, которое гласит:

$\lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} = 1$

Это утверждение выводится из первого замечательного предела $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ следующим образом:

$\lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} = \lim_{u \to 0} \frac{\frac{\sin u}{\cos u}}{u} = \lim_{u \to 0} \left( \frac{\sin u}{u} \cdot \frac{1}{\cos u} \right) = \left( \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} \right) \cdot \left( \lim_{u \to 0} \frac{1}{\cos u} \right) = 1 \cdot \frac{1}{\cos 0} = 1 \cdot 1 = 1$

1) Найти предел функции $f(x) = \frac{\tg x}{2x}$ при $x \to 0$.

Для вычисления предела вынесем постоянный множитель $\frac{1}{2}$ за знак предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\tg x}{x}\right) = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x}$

Используя замечательный предел $\lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x} = 1$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Найти предел функции $f(x) = \frac{\tg(6x)}{3x}$ при $x \to 0$.

Чтобы применить замечательный предел, необходимо, чтобы аргумент функции тангенса был равен знаменателю. Аргумент тангенса равен $6x$. Преобразуем знаменатель, домножив и разделив выражение на 2:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tg(6x)}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tg(6x)}{3x} \cdot \frac{2}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\tg(6x)}{6x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(6x)}{6x}$

Сделаем замену переменной $u = 6x$. Поскольку $x \to 0$, то и $u \to 0$.

$2 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$

3) Найти предел функции $f(x) = \frac{2\tg(2x)}{5x}$ при $x \to 0$.

В данном случае аргумент тангенса равен $2x$. Вынесем константы и преобразуем выражение так, чтобы можно было применить замечательный предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{2\tg(2x)}{5x} = \frac{2}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(2x)}{x}$

Домножим и разделим под знаком предела на 2:

$\frac{2}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(2x)}{x} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{5} \cdot 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(2x)}{2x} = \frac{4}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(2x)}{2x}$

Сделаем замену $u = 2x$. При $x \to 0$, $u \to 0$.

$\frac{4}{5} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} = \frac{4}{5} \cdot 1 = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

4) Найти предел функции $f(x) = \frac{5\tg(3x)}{6x}$ при $x \to 0$.

Аргумент тангенса равен $3x$. Проведем преобразования, аналогичные предыдущим пунктам:

$\lim_{x \to 0} \frac{5\tg(3x)}{6x} = \frac{5}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(3x)}{x}$

Домножим и разделим под знаком предела на 3:

$\frac{5}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(3x)}{x} \cdot \frac{3}{3} = \frac{5 \cdot 3}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(3x)}{3x} = \frac{15}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(3x)}{3x}$

Сделаем замену $u = 3x$. При $x \to 0$, $u \to 0$.

$\frac{15}{6} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} = \frac{15}{6} \cdot 1 = \frac{15}{6}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Ответ: $\frac{5}{2}$