Вопросы, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ назвали замечательным пределом?

Предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ называют первым замечательным пределом из-за его фундаментальной важности и чрезвычайно широкого применения в математическом анализе. Слово «замечательный» в данном контексте — это не просто эпитет, а указание на особый статус этого равенства. Его «замечательность» заключается в нескольких ключевых аспектах:

1. Раскрытие ключевой неопределенности

Этот предел является классическим и одним из первых изучаемых примеров раскрытия неопределенности вида $\frac{0}{0}$. При прямой подстановке значения $x=0$ в выражение $\frac{\sin x}{x}$ мы получаем $\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}$, что является неопределенным выражением. Замечательный предел дает точный и конечный ответ, позволяя анализировать поведение функций в таких точках. Это один из первых шагов от школьной алгебры к методам математического анализа.

2. Фундамент для дифференциального исчисления

Первый замечательный предел является краеугольным камнем при выводе производных тригонометрических функций. Без него было бы крайне затруднительно доказать, например, что производная синуса равна косинусу. Вывод по определению производной для $f(x)=\sin x$ выглядит так:

$(\sin x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2 \sin(\frac{\Delta x}{2}) \cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}$

После преобразования это выражение сводится к произведению двух пределов:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \cos(x+\frac{\Delta x}{2})$

Первый множитель как раз и является первым замечательным пределом (при замене $t = \frac{\Delta x}{2}$), и он равен 1. Второй предел равен $\cos x$. В итоге мы получаем известный результат: $(\sin x)' = 1 \cdot \cos x = \cos x$. Аналогично он используется для нахождения производных других тригонометрических функций.

3. Мощный инструмент для вычисления других пределов

Этот предел служит эталоном, к которому сводится множество других, более сложных пределов с участием тригонометрических функций. Это позволяет решать широкий класс задач, используя стандартный прием. Например:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}) = 1 \cdot 1 = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{4 (\frac{x}{2})^2} = \frac{1}{2} \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

4. Установление эквивалентности бесконечно малых

Результат $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ устанавливает важное соотношение: для малых углов $x$ (выраженных в радианах) значение $\sin x$ очень близко к значению самого угла $x$. В анализе это называется эквивалентностью бесконечно малых функций: $\sin x \sim x$ при $x \to 0$. Это свойство позволяет значительно упрощать сложные выражения при вычислении пределов, заменяя $\sin x$ на $x$ (и наоборот) в произведениях и частных.

5. Элегантность и наглядность

Классическое доказательство этого предела, использующее метод сжатия (или «теорему о двух милиционерах») и сравнение площадей сектора и треугольников в единичной окружности, очень наглядно и красиво. Оно демонстрирует изящную связь между геометрией и анализом, что также придает ему особую «замечательность» в глазах математиков и студентов.

Таким образом, этот предел назван «замечательным» не случайно. Он является одним из столпов, на которых держится значительная часть математического анализа, и его понимание открывает дорогу к изучению более сложных разделов математики.

Ответ: Предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ назвали «замечательным» из-за его фундаментальной роли и широчайшего применения в математическом анализе. Он позволяет раскрывать неопределенность $\frac{0}{0}$, является основой для вывода производных тригонометрических функций, служит мощным инструментом для вычисления других пределов и устанавливает важное соотношение эквивалентности $\sin x \sim x$ при $x \to 0$.