Номер 36.17, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.17. Найдите предел:

1) $\lim_{x\to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$;

2) $\lim_{x\to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$;

3) $\lim_{x\to 16} \frac{4 - \sqrt{x}}{x - 16}$;

4) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{\sqrt{x} - 1}$;

5) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - x}{\sqrt{x + 3} - 2}$;

6) $\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 4}{\sqrt{2x - 3} - 1}$.

1) Найдем предел $ \lim_{x\to4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} $.

При подстановке предельного значения $x = 4$ в числитель и знаменатель получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$ \frac{4 - 4}{\sqrt{4} - 2} = \frac{0}{2 - 2} = \frac{0}{0} $

Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители как разность квадратов, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$, а $4$ как $2^2$.

$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$.

Подставим разложение в исходный предел:

$ \lim_{x\to4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} $

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - 2)$, так как при $x \to 4$ он не равен нулю.

$ \lim_{x\to4} (\sqrt{x} + 2) $

Теперь можно подставить значение $x=4$ в полученное выражение:

$\sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

2) Найдем предел $ \lim_{x\to9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3} $.

При подстановке $x = 9$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$ \frac{9 - 9}{\sqrt{9} - 3} = \frac{0}{3 - 3} = \frac{0}{0} $

Аналогично предыдущему пункту, разложим числитель на множители как разность квадратов: $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$.

$ \lim_{x\to9} \frac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} - 3} $

Сокращаем на $(\sqrt{x} - 3)$:

$ \lim_{x\to9} (\sqrt{x} + 3) $

Подставляем $x = 9$:

$\sqrt{9} + 3 = 3 + 3 = 6$.

Ответ: 6

3) Найдем предел $ \lim_{x\to16} \frac{4 - \sqrt{x}}{x - 16} $.

При подстановке $x = 16$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$ \frac{4 - \sqrt{16}}{16 - 16} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0} $

Разложим на множители знаменатель: $x - 16 = (\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4)$.

$ \lim_{x\to16} \frac{4 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4)} $

В числителе вынесем -1 за скобки, чтобы получить выражение, которое можно сократить: $4 - \sqrt{x} = -(\sqrt{x} - 4)$.

$ \lim_{x\to16} \frac{-(\sqrt{x} - 4)}{(\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4)} $

Сокращаем на $(\sqrt{x} - 4)$:

$ \lim_{x\to16} \frac{-1}{\sqrt{x} + 4} $

Подставляем $x = 16$:

$\frac{-1}{\sqrt{16} + 4} = \frac{-1}{4 + 4} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: -1/8

4) Найдем предел $ \lim_{x\to1} \frac{x^2 - 3x + 2}{\sqrt{x} - 1} $.

При подстановке $x = 1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$ \frac{1^2 - 3 \cdot 1 + 2}{\sqrt{1} - 1} = \frac{1 - 3 + 2}{1 - 1} = \frac{0}{0} $

Разложим числитель на множители. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1=1$ и $x_2=2$. Тогда $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{x} + 1)$.

$ \lim_{x\to1} \frac{(x - 1)(x - 2)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $

В знаменателе получаем разность квадратов: $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1$.

$ \lim_{x\to1} \frac{(x - 1)(x - 2)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} $

Сокращаем на $(x - 1)$:

$ \lim_{x\to1} (x - 2)(\sqrt{x} + 1) $

Подставляем $x = 1$:

$(1 - 2)(\sqrt{1} + 1) = (-1)(1 + 1) = -2$.

Ответ: -2

5) Найдем предел $ \lim_{x\to1} \frac{x^2 - x}{\sqrt{x+3} - 2} $.

При подстановке $x = 1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$ \frac{1^2 - 1}{\sqrt{1+3} - 2} = \frac{0}{\sqrt{4} - 2} = \frac{0}{0} $

Разложим числитель на множители: $x^2 - x = x(x - 1)$.

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю: $(\sqrt{x+3} + 2)$.

$ \lim_{x\to1} \frac{x(x - 1)(\sqrt{x+3} + 2)}{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)} $

В знаменателе получаем: $(\sqrt{x+3})^2 - 2^2 = (x+3) - 4 = x - 1$.

$ \lim_{x\to1} \frac{x(x - 1)(\sqrt{x+3} + 2)}{x - 1} $

Сокращаем на $(x - 1)$:

$ \lim_{x\to1} x(\sqrt{x+3} + 2) $

Подставляем $x = 1$:

$1 \cdot (\sqrt{1+3} + 2) = 1 \cdot (\sqrt{4} + 2) = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

6) Найдем предел $ \lim_{x\to2} \frac{x^2 - 4}{\sqrt{2x-3} - 1} $.

При подстановке $x = 2$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$ \frac{2^2 - 4}{\sqrt{2 \cdot 2 - 3} - 1} = \frac{4 - 4}{\sqrt{1} - 1} = \frac{0}{0} $

Разложим числитель на множители как разность квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{2x-3} + 1)$.

$ \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x-3} + 1)}{(\sqrt{2x-3} - 1)(\sqrt{2x-3} + 1)} $

В знаменателе получаем: $(\sqrt{2x-3})^2 - 1^2 = (2x - 3) - 1 = 2x - 4 = 2(x - 2)$.

$ \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x-3} + 1)}{2(x - 2)} $

Сокращаем на $(x - 2)$:

$ \lim_{x\to2} \frac{(x+2)(\sqrt{2x-3} + 1)}{2} $

Подставляем $x = 2$:

$\frac{(2+2)(\sqrt{2 \cdot 2 - 3} + 1)}{2} = \frac{4(\sqrt{1} + 1)}{2} = \frac{4(1+1)}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$.

Ответ: 4