Номер 36.14, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.14. Запишите дробно-рациональную функцию $f(x)$, которая при $x \to \infty$ имеет предел, равный числу: 1) -1; 2) 3; 3) -4; 4) $\sqrt{3}$.

Для решения задачи необходимо использовать правило нахождения предела дробно-рациональной функции при $x \to \infty$. Дробно-рациональная функция — это функция вида $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

Предел такой функции при $x \to \infty$ равен конечному ненулевому числу $L$ только в том случае, если степени многочленов в числителе $P(x)$ и в знаменателе $Q(x)$ одинаковы. Если старшая степень $x$ в числителе и знаменателе равна $n$, а коэффициенты при $x^n$ равны $a_n$ и $b_n$ соответственно, то предел равен их отношению:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots}{b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \dots} = \frac{a_n}{b_n} = L$.

Таким образом, для каждого пункта задачи нужно составить функцию, у которой степени числителя и знаменателя равны, а отношение старших коэффициентов равно заданному числу. Существует бесконечное множество таких функций, для каждого пункта мы приведем один из возможных примеров.

1) Требуется найти функцию, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = -1$.

Для этого необходимо, чтобы отношение старших коэффициентов было равно $-1$. Выберем многочлены первой степени. Пусть старший коэффициент числителя будет $a_1 = -1$, а знаменателя $b_1 = 1$.

Примером такой функции является $f(x) = \frac{-x + 5}{x + 2}$.

Проверим предел: $\lim_{x \to \infty} \frac{-x + 5}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(-1 + 5/x)}{x(1 + 2/x)} = \frac{-1}{1} = -1$.

Ответ: $f(x) = \frac{-x + 5}{x + 2}$.

2) Требуется найти функцию, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$.

Для этого необходимо, чтобы отношение старших коэффициентов было равно $3$. Выберем многочлены первой степени. Пусть старший коэффициент числителя будет $a_1 = 3$, а знаменателя $b_1 = 1$.

Примером такой функции является $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 4}$.

Проверим предел: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(3 - 1/x)}{x(1 + 4/x)} = \frac{3}{1} = 3$.

Ответ: $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 4}$.

3) Требуется найти функцию, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = -4$.

Для этого необходимо, чтобы отношение старших коэффициентов было равно $-4$. Можно выбрать многочлены любой одинаковой степени, например, второй. Пусть старший коэффициент числителя будет $a_2 = -4$, а знаменателя $b_2 = 1$.

Примером такой функции является $f(x) = \frac{-4x^2 + 3x}{x^2 + 1}$.

Проверим предел: $\lim_{x \to \infty} \frac{-4x^2 + 3x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(-4 + 3/x)}{x^2(1 + 1/x^2)} = \frac{-4}{1} = -4$.

Ответ: $f(x) = \frac{-4x^2 + 3x}{x^2 + 1}$.

4) Требуется найти функцию, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = \sqrt{3}$.

Для этого необходимо, чтобы отношение старших коэффициентов было равно $\sqrt{3}$. Выберем многочлены первой степени. Пусть старший коэффициент числителя будет $a_1 = \sqrt{3}$, а знаменателя $b_1 = 1$.

Примером такой функции является $f(x) = \frac{\sqrt{3}x - 2}{x + 1}$.

Проверим предел: $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{3}x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(\sqrt{3} - 2/x)}{x(1 + 1/x)} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $f(x) = \frac{\sqrt{3}x - 2}{x + 1}$.