Номер 36.12, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.12. Вычислите предел:

1) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x}{2x^2 + 2} $;

2) $ \lim_{x \to \infty} \frac{6x - 2x^3}{x^3 - 3} $;

3) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{2 - x^2} $;

4) $ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x^3 + x + 1}{x^3 - 1} $.

1) Для нахождения предела при $x \to \infty$ имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной в знаменателе, то есть на $x^2$.

$ \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + 2x}{2x^2 + 2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{2 + \frac{2}{x^2}} $

Так как при $x \to \infty$ значения выражений $\frac{2}{x}$ и $\frac{2}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$ \frac{1 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} $

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) В данном пределе также имеется неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной в знаменателе, то есть на $x^3$.

$ \lim_{x\to\infty} \frac{6x - 2x^3}{x^3 - 3} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{6x}{x^3} - \frac{2x^3}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} - \frac{3}{x^3}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{6}{x^2} - 2}{1 - \frac{3}{x^3}} $

При $x \to \infty$ дроби $\frac{6}{x^2}$ и $\frac{3}{x^3}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$ \frac{0 - 2}{1 - 0} = -2 $

Ответ: -2

3) Снова имеем неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Старшая степень переменной в знаменателе - $x^2$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.

$ \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{2 - x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{6}{x^2}}{\frac{2}{x^2} - \frac{x^2}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}}{\frac{2}{x^2} - 1} $

Учитывая, что $\frac{5}{x}$, $\frac{6}{x^2}$ и $\frac{2}{x^2}$ стремятся к нулю при $x \to \infty$, получаем:

$ \frac{1 - 0 + 0}{0 - 1} = -1 $

Ответ: -1

4) В этом примере также неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Старшая степень знаменателя - $x^3$. Делим числитель и знаменатель на $x^3$.

$ \lim_{x\to\infty} \frac{2x^2 - 3x^3 + x + 1}{x^3 - 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x^2}{x^3} - \frac{3x^3}{x^3} + \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} - \frac{1}{x^3}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2}{x} - 3 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{1}{x^3}} $

Поскольку слагаемые $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{1}{x^3}$ стремятся к нулю при $x \to \infty$, предел будет равен:

$ \frac{0 - 3 + 0 + 0}{1 - 0} = -3 $

Ответ: -3