Номер 36.16, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.16. Найдите предел последовательности:

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2 - \sqrt{n^2 - 1}}{n}$;

2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \sqrt{n^2 + 1}}{n}$;

3) $\lim_{n \to \infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n}$;

4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\arcsin 2n}{n}$.

1) Для нахождения предела $ \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \sqrt{n^2 - 1}}{n} $ мы имеем дело с неопределенностью вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$ в знаменателе, то есть на $n$.

$ \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \sqrt{n^2 - 1}}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{n} - \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n} \right) $

Для $ n > 0 $, мы можем внести $n$ под знак корня как $n^2$:

$ \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} $

Подставим это обратно в предел:

$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{n} - \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} \right) $

Теперь воспользуемся свойствами пределов. Мы знаем, что $ \lim_{n \to \infty} \frac{c}{n^p} = 0 $ для $ p > 0 $.

$ \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0 $

$ \lim_{n \to \infty} \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} = \sqrt{1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}} = \sqrt{1 - 0} = \sqrt{1} = 1 $

Следовательно, искомый предел равен:

$ 0 - 1 = -1 $

Ответ: $-1$

2) Найдем предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \sqrt{n^2 + 1}}{n} $. Здесь также имеется неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Разделим числитель и знаменатель на $n$.

$ \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \sqrt{n^2 + 1}}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n} \right) $

Так же, как и в предыдущем примере, упростим второе слагаемое:

$ \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n} = \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\frac{n^2 + 1}{n^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} $

Подставим обратно:

$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} \right) $

Вычислим пределы отдельных слагаемых:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0 $

$ \lim_{n \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} = \sqrt{1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1 $

Таким образом, предел равен:

$ 0 + 1 = 1 $

Ответ: $1$

3) Рассмотрим предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n} $.

Проанализируем поведение числителя и знаменателя при $ n \to \infty $.

Знаменатель $n$ стремится к бесконечности: $ \lim_{n \to \infty} n = \infty $.

Числитель $ \operatorname{arctg} n $ является ограниченной функцией. Область значений арктангенса - интервал $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $. При $ n \to \infty $, значение $ \operatorname{arctg} n $ стремится к $ \frac{\pi}{2} $.

$ \lim_{n \to \infty} \operatorname{arctg} n = \frac{\pi}{2} $

Таким образом, мы имеем предел вида "константа, деленная на бесконечность". Предел такой последовательности равен нулю.

$ \lim_{n \to \infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n} = \frac{\lim_{n \to \infty} \operatorname{arctg} n}{\lim_{n \to \infty} n} = \frac{\pi/2}{\infty} = 0 $

Также можно применить теорему о двух милиционерах (теорему о сжатии). Для любого $n$ справедливо неравенство:

$ -\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} n < \frac{\pi}{2} $

При $n > 0$ разделим все части на $n$:

$ -\frac{\pi}{2n} < \frac{\operatorname{arctg} n}{n} < \frac{\pi}{2n} $

Так как $ \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{\pi}{2n}\right) = 0 $ и $ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{2n} = 0 $, то по теореме о сжатии, предел "зажатой" между ними последовательности также равен нулю.

Ответ: $0$

4) Рассмотрим предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{\operatorname{arcsin} 2n}{n} $.

Область определения функции арксинус $ \operatorname{arcsin}(x) $ - это отрезок $ [-1, 1] $.

Следовательно, выражение $ \operatorname{arcsin} 2n $ определено только при условии $ -1 \le 2n \le 1 $, что эквивалентно $ -0.5 \le n \le 0.5 $.

Понятие предела последовательности при $ n \to \infty $ предполагает, что член последовательности $ a_n $ определен для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого номера $N$.

В данном случае, выражение $ \frac{\operatorname{arcsin} 2n}{n} $ не определено ни для одного натурального числа $n \ge 1$, так как для любого такого $n$ значение $2n$ будет больше $1$ и, следовательно, выйдет за область определения арксинуса.

Поскольку последовательность не определена для $ n \to \infty $, ее предел не существует.

Ответ: предел не существует.