Номер 36.20, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.20. Упростите выражение:

1) $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot \cot(4\pi - \alpha) \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot \tan(2\pi + \alpha);$

2) $\cos(4\pi - \alpha) \cdot (\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot \tan(\pi + \alpha) \cdot (\cot(\frac{5\pi}{2} + \alpha))^2.$

1) Для упрощения выражения $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(4\pi - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot tg(2\pi + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения для каждой тригонометрической функции.

1. $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию.

2. $ctg(4\pi - \alpha) = ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Используем периодичность котангенса (период $\pi$, $4\pi$ - целое число периодов) и его нечетность.

3. $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$. Угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в I четверти, где косинус положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию.

4. $tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. Используем периодичность тангенса (период $\pi$, $2\pi$ - целое число периодов).

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha) = -ctg^2(\alpha) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha)$.

Зная, что $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$ и $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, заменим их в выражении:

$-(\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)})^2 \cdot sin(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = -\frac{cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)} \cdot sin(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$.

Сократим дроби:

$-\frac{cos^2(\alpha) \cdot sin^2(\alpha)}{sin^2(\alpha) \cdot cos(\alpha)} = -cos(\alpha)$.

Ответ: $-cos(\alpha)$.

2) Для упрощения выражения $cos(4\pi - \alpha) \cdot (tg(\frac{\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot tg(\pi + \alpha) \cdot (ctg(\frac{5\pi}{2} + \alpha))^2$ воспользуемся формулами приведения.

1. $cos(4\pi - \alpha) = cos(-\alpha) = cos(\alpha)$. Используем периодичность косинуса (период $2\pi$) и его четность.

2. $(tg(\frac{\pi}{2} - \alpha))^2 = (ctg(\alpha))^2 = ctg^2(\alpha)$. Функция меняется на кофункцию, а знак не имеет значения из-за возведения в квадрат.

3. $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. Используем периодичность тангенса (период $\pi$).

4. $ctg(\frac{5\pi}{2} + \alpha) = ctg(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$. Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен, а функция меняется на кофункцию. Тогда $(ctg(\frac{5\pi}{2} + \alpha))^2 = (-tg(\alpha))^2 = tg^2(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg(\alpha) \cdot tg^2(\alpha) = cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg^3(\alpha)$.

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$cos(\alpha) \cdot (\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)})^2 \cdot (\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)})^3 = cos(\alpha) \cdot \frac{cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)} \cdot \frac{sin^3(\alpha)}{cos^3(\alpha)}$.

Перемножим и сократим дроби:

$\frac{cos(\alpha) \cdot cos^2(\alpha) \cdot sin^3(\alpha)}{sin^2(\alpha) \cdot cos^3(\alpha)} = \frac{cos^3(\alpha) \cdot sin^3(\alpha)}{sin^2(\alpha) \cdot cos^3(\alpha)} = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$.